WikiSysop: bnz

2022-03-24T04:21:44Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 24. ožujak 2022. u 04:21
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Predsnop'''-->'''~~Predsnop''' skupova na [[topološki prostor\|topološkom prostoru]] <math>X</math> je kontravarijantni funktor <math>P:Otv_X^\circ\to X</math> iz [[teorija kategorija\|kategorije]] <math>Otv_X</math> kojoj su objekti otvoreni podskupovi od <math>X</math>, a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova <math>Set</math>.		Predsnop''' skupova na [[topološki prostor\|topološkom prostoru]] <math>X</math> je kontravarijantni funktor <math>P:Otv_X^\circ\to X</math> iz [[teorija kategorija\|kategorije]] <math>Otv_X</math> kojoj su objekti otvoreni podskupovi od <math>X</math>, a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova <math>Set</math>.

	Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz <math>Otv_X</math> u kategoriju <math>Grp</math> grupa i homomorfizama grupa.		Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz <math>Otv_X</math> u kategoriju <math>Grp</math> grupa i homomorfizama grupa.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-11T09:24:21Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Predsnop''' skupova na [[topološki prostor|topološkom prostoru]] <math>X</math> je kontravarijantni funktor <math>P:Otv_X^\circ\to X</math> iz [[teorija kategorija|kategorije]] <math>Otv_X</math> kojoj su objekti otvoreni podskupovi od <math>X</math>, a morfizmi inkluzije, u kategoriju skupova <math>Set</math>.

Ponekad gledamo i predsnopove objekata u nekoj drugoj kategoriji. Npr. predsnop grupa na topološkom prostoru je kontravarijantni funktor iz <math>Otv_X</math> u kategoriju <math>Grp</math> grupa i homomorfizama grupa.

Ako kažemo predsnop na topološkom prostoru bez da kažemo predsnop čega, obično podrazumijevamo predsnop skupova.

Još općenitije, predsnopove možemo gledati na ma kojoj kategoriji <math>C</math>, umjesto kategorije <math>Otv_X</math>. Tako su '''predsnopovi skupova na kategoriji''' <math>C</math> funktori <math>C^{\circ}\to Set</math>.

Neka je <math>X\in Ob(C)</math>. Tada je hom-funktor u prvom argumentu predsnop <math>h_X = Hom(-,X):C^\circ\to Set</math> zadan pravilom <math>Ob(C)\ni Y\mapsto Hom(Y,X)\in Ob(Set)</math> i <math>(Mor(C)\ni f:Y\to Z)\mapsto (Hom(f,X):Hom(Z,X)\to Hom(Y,X), g\mapsto g\circ f)</math>. Takav predsnop nazivamo reprezentabilnim predsnopom, a tako nazivamo i svaki predsnop za koji postoji i odabran je izomorfizam s funktorom tipa <math>h_X</math>.

Za danu malu kategoriju <math>C</math> definiramo kategoriju <math>\hat{C}</math> predsnopova skupova na <math>C</math> ovako. Objekti su predsnopovi skupova, a morfizmi su prirodne transformacije funktora. Tada je korespodencija
<math>Ob(C)\ni X\mapsto h_X := Hom(-,X):C^\circ\to Set, \,\,\,Mor(C)\ni f\mapsto (Hom(-,f):g\mapsto f\circ g)</math> kovarijantni funktor <math>h : C\to\hat{C}, X\mapsto h_X</math> koji zovemo '''Yonedino ulaganje'''. Yonedina lema u svom slabijem iskazu kaže da je taj funktor pun i vjeran (drugim riječima, ulaganje kategorija). Kako kategorija predsnopova skupova ima jako dobra svojstva (na primjer, dopušta kolimese i limese svih malih dijagrama) to ulaganje je jako korisno u matematici.

Korisno je da kategorija <math>C</math> ima dodatnu strukturu [[Grothendieckova topologija|Grothendieckove topologije]] na sebi koja omogućava da se izdvoje oni predsnopovi koji zadovoljavaju izvjesna svojstva ljepljenja u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Takve predsnopove zovemo snopovima u odnosu na tu Grothendieckovu topologiju. Snopovi su jedan od central pojmova u modernoj matematici.

==Univerzalno svojstvo==
Konstrukciju <math>C \mapsto \hat{C} = \mathbf{Fct}(C^{\text{op}}, \mathbf{Set})</math> zovemo '''upotpunjenje kolimesima''' kategorije <math>C</math> jer vrijedi slijedeće univerzalno svojstvo:

'''Teorem''' (Proposition 2.7.1 u <ref>Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre, Categories and sheaves, Spriger 2006.</ref>) Neka su <math>C, D</math> kategorije pri čemu ''D'' dopušta kolimese malih dijagrama.
Tada se svaki funktor <math>\eta: C \to D</math> razlaže na jedinstven način u kompoziciju
<math>C \overset{h}\longrightarrow \hat{C} \overset{\widetilde{\eta}}\longrightarrow D</math>
gdje je <math>h</math> Yonedino ulaganje i <math>\widetilde{\eta}: \hat{C} \to D</math> je funktor koji čuva kolimese i kojeg zovemo '''Yonedino proširenje''' funktora <math>\eta</math>.

==Literatura==

* Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag 1994.

==Izvori==

[[Kategorija:Teorija kategorija]]
[[Kategorija:Topologija]]

Predsnop - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica