Pitagorin poučak - Povijest promjena

WikiSysop: file->datoteka

2022-05-01T09:46:51Z

file->datoteka

←Starija inačica		Inačica od 1. svibanj 2022. u 09:46
Redak 16:		Redak 16:

	== Dokazi ==		== Dokazi ==
	[[~~File~~:Pythagoras-proof-anim.svg\|thumb\|right\|320px\|Vizualni dokaz. Kliknite za animaciju]]		[[Datoteka:Pythagoras-proof-anim.svg\|thumb\|right\|320px\|Vizualni dokaz. Kliknite za animaciju]]

	Na slici desno vizualni je dokaz Pitagorina poučka, a ispod su algebarski dokazi.		Na slici desno vizualni je dokaz Pitagorina poučka, a ispod su algebarski dokazi.
Redak 22:		Redak 22:
	=== Dokaz pomoću sličnosti ===		=== Dokaz pomoću sličnosti ===

	[[~~File~~:Pythagoras similar triangles simplified.svg\|thumb\|left]]		[[Datoteka:Pythagoras similar triangles simplified.svg\|thumb\|left]]

	Neka je trokut ''ABC'' pravokutan s pravim kutom u vrhu ''C''. Neka je s ''H'' označimo sjecište visine iz vrha ''C'' na ''AB'' s dužinom {{Nadcrta\|AB}}. Prema poučku K-K o sličnosti trokuta slijedi da su trokuti ''ABC'', ''AHC'' i ''BCH'' slični. Iz sličnosti trokuta slijede razmjeri duljina stranica:		Neka je trokut ''ABC'' pravokutan s pravim kutom u vrhu ''C''. Neka je s ''H'' označimo sjecište visine iz vrha ''C'' na ''AB'' s dužinom {{Nadcrta\|AB}}. Prema poučku K-K o sličnosti trokuta slijedi da su trokuti ''ABC'', ''AHC'' i ''BCH'' slični. Iz sličnosti trokuta slijede razmjeri duljina stranica:
Redak 44:		Redak 44:

	=== Euklidov dokaz ===		=== Euklidov dokaz ===
	[[~~File~~:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg\|thumb\|left\|222px]]		[[Datoteka:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg\|thumb\|left\|222px]]
	[[~~File~~:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg\|thumb\|right\|222px]]		[[Datoteka:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg\|thumb\|right\|222px]]

	Neka je ''ACB'' pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu A, uz oznake kao na slici. Nad stranicama trokuta ''ACB'' nacrtani su kvadrati ''CBDE'', ''BAGF'' i ''ACIH''. Slijedi \|AB\| = \|FB\| te \|BC\| = \|BD\|. Kroz A povucimo pravac paralelan s BD. Spojimo C i F te A i D. Slijedi ∠ABD = 90° + ∠ABC = ∠FBC. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta, slijedi da su trokuti ''FBC'' i ''ABD'' sukladni ''(v. sliku)''.		Neka je ''ACB'' pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu A, uz oznake kao na slici. Nad stranicama trokuta ''ACB'' nacrtani su kvadrati ''CBDE'', ''BAGF'' i ''ACIH''. Slijedi \|AB\| = \|FB\| te \|BC\| = \|BD\|. Kroz A povucimo pravac paralelan s BD. Spojimo C i F te A i D. Slijedi ∠ABD = 90° + ∠ABC = ∠FBC. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta, slijedi da su trokuti ''FBC'' i ''ABD'' sukladni ''(v. sliku)''.
Redak 60:		Redak 60:
	Stranice [[kvadrat]]a zatvaraju [[kut]] od 90°. Neka je zadan kvadrat ''ABCD''. Primijenimo Pitagorin poučak na trokut ''BCD'':		Stranice [[kvadrat]]a zatvaraju [[kut]] od 90°. Neka je zadan kvadrat ''ABCD''. Primijenimo Pitagorin poučak na trokut ''BCD'':

	[[~~File~~:Rectangle.svg\|thumb\|right\|Pravokutnik.]]		[[Datoteka:Rectangle.svg\|thumb\|right\|Pravokutnik.]]
	<math>a^2 + a^2 = d^2</math>		<math>a^2 + a^2 = d^2</math>

Redak 71:		Redak 71:
	Stranice [[pravokutnik]]a također zatvaraju kut od 90°. Neka je zadan pravokutnik ''ABCD''. Primjenom Pitagorina poučka na trokut ''ABC'':		Stranice [[pravokutnik]]a također zatvaraju kut od 90°. Neka je zadan pravokutnik ''ABCD''. Primjenom Pitagorina poučka na trokut ''ABC'':

	[[~~File~~:45-45-triangle.svg\|thumb\|right\|''Jednakokračan pravokutan trokut'' pola je kvadrata]]		[[Datoteka:45-45-triangle.svg\|thumb\|right\|''Jednakokračan pravokutan trokut'' pola je kvadrata]]
	<math>a^2 + b^2 = d^2</math>		<math>a^2 + b^2 = d^2</math>

Redak 82:		Redak 82:
	gdje je ''a'' duljina osnovice, ''v'' je duljina visine, a ''b'' duljina kraka trokuta.		gdje je ''a'' duljina osnovice, ''v'' je duljina visine, a ''b'' duljina kraka trokuta.

	[[~~File~~:30-60-90.svg\|thumb\|left\|184px\|Jednakostraničan trokut]]		[[Datoteka:30-60-90.svg\|thumb\|left\|184px\|Jednakostraničan trokut]]
	=== Jednakostraničan trokut ===		=== Jednakostraničan trokut ===

Redak 96:		Redak 96:


	[[~~File~~:Rombo 113.svg\|thumb\|right\|Romb. Na crveni trokut primijenili smo Pitagorin poučak.]]		[[Datoteka:Rombo 113.svg\|thumb\|right\|Romb. Na crveni trokut primijenili smo Pitagorin poučak.]]
	=== Romb ===		=== Romb ===

Redak 104:		Redak 104:

	=== Jednakokračan trapez ===		=== Jednakokračan trapez ===
	[[~~File~~:Isosceles trapezoid.jpg\|left\|158px]]		[[Datoteka:Isosceles trapezoid.jpg\|left\|158px]]

	<math>\left(\frac{a-c}{2}\right)^2 + v^2 = b^2</math>		<math>\left(\frac{a-c}{2}\right)^2 + v^2 = b^2</math>
Redak 157:		Redak 157:

	== U fraktalima ==		== U fraktalima ==
	[[~~File~~:Red Pythagoras tree with blue background.gif\|thumb\|Pitagorino stablo.]]		[[Datoteka:Red Pythagoras tree with blue background.gif\|thumb\|Pitagorino stablo.]]
	Pitagorino stablo je [[fraktal]] u [[ravnina\|ravnini]]. 1942. ga je izumio Albert E. Bosman, [[nizozemci\|nizozemski]] profesor matematike.<ref>[http://oeis.org/wiki/Pythagoras_tree OEIS Wiki]</ref> Ono možemo smjestiti u [[pravokutnik]] širine ''6a'' i visine ''4a'', gdje je ''a'' duljina stranice najvećeg [[kvadrat]]a u stablu.		Pitagorino stablo je [[fraktal]] u [[ravnina\|ravnini]]. 1942. ga je izumio Albert E. Bosman, [[nizozemci\|nizozemski]] profesor matematike.<ref>[http://oeis.org/wiki/Pythagoras_tree OEIS Wiki]</ref> Ono možemo smjestiti u [[pravokutnik]] širine ''6a'' i visine ''4a'', gdje je ''a'' duljina stranice najvećeg [[kvadrat]]a u stablu.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-02T03:43:35Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Pythagorean.svg|okvir|Prikaz [[Pitagora|Pitagorinog]] poučka: Kvadrat sa stranicom hipotenuze trokuta (c) površinom je jednak zbroju kvadrata sa stranicama trokuta (a, b)]]

'''Pitagorin poučak''' jedan je od osnovnih [[teorem]]a [[geometrija|geometrije]] koji glasi:

:Površina kvadrata nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama.

== Matematička notacija ==

:<math>c^2 = a^2 + b^2 \, </math>

Odnosno, duljina hipotenuze ''c'' uz poznavanje duljina kateta iznosi:

:<math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>

Pitagorejcima "kvadrat" nije označavao množenje duljine stranice sa samom sobom, već je označavao [[geometrijski lik]] [[kvadrat]] konstruiran iznad stranice trokuta. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je sukladan kvadratu nad hipotenuzom.

== Dokazi ==
[[File:Pythagoras-proof-anim.svg|thumb|right|320px|Vizualni dokaz. Kliknite za animaciju]]

Na slici desno vizualni je dokaz Pitagorina poučka, a ispod su algebarski dokazi.

=== Dokaz pomoću sličnosti ===

[[File:Pythagoras similar triangles simplified.svg|thumb|left]]

Neka je trokut ''ABC'' pravokutan s pravim kutom u vrhu ''C''. Neka je s ''H'' označimo sjecište visine iz vrha ''C'' na ''AB'' s dužinom {{Nadcrta|AB}}. Prema poučku K-K o sličnosti trokuta slijedi da su trokuti ''ABC'', ''AHC'' i ''BCH'' slični. Iz sličnosti trokuta slijede razmjeri duljina stranica:

::<math>\frac{|BC|}{|AB|} = \frac{|BH|}{|BC|} \;\; i \;\; \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AH|}{|AC|}</math>

Tranformacijom razmjera slijedi:

::<math>|BC|^2 = |AB| \cdot |BH| \;\; i \;\; |AC|^2 = |AB| \cdot |AH|</math>

Zbrajanjem jednakosti slijedi:

:<math>|BC|^2 + |AC|^2 = |AB| \cdot |BH| + |AB| \cdot |AH| = |AB| \cdot (|BH| + |AH|) = |AB|^2</math>

To jest:

:<math>|BC|^2 + |AC|^2 = |AB|^2</math>

te je time dokaz završen.

=== Euklidov dokaz ===
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|left|222px]]
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg|thumb|right|222px]]

Neka je ''ACB'' pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu A, uz oznake kao na slici. Nad stranicama trokuta ''ACB'' nacrtani su kvadrati ''CBDE'', ''BAGF'' i ''ACIH''. Slijedi |AB| = |FB| te |BC| = |BD|. Kroz A povucimo pravac paralelan s BD. Spojimo C i F te A i D. Slijedi ∠ABD = 90° + ∠ABC = ∠FBC. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta, slijedi da su trokuti ''FBC'' i ''ABD'' sukladni ''(v. sliku)''.

Površina trokuta ''BDK'' upola je manja od površine pravokutnika ''BDLK''. Površina trokuta ''BDK'' i površina trokuta ''BDA'' jednake su jer imaju istu osnovicu te istu duljinu visine. Slijedi da je površina trokuta ''BDA'' polovina površine pravokutnika ''BDLK''. Analogno vrijedi i P''BAGF'' = 2 · P''FBC'' = = 2 · P''BDA'' = P''BDLK''.

Pošto duljina stranice kvadrata ''BAGF'' iznosi |AB|, površina pravokutnika ''BDLK'' iznosi |AB|2. Slično dokazujemo da je P''CKLE'' = P''ACIH'' = |AC|2. Slijedi |AB|2 + |AC|2 = |BD| · |BK| + |KL| · |KC| = = |BD| · |BK| + |BD| · |KC| = |BD| · (|BK| + |KC|) = |BD| · |BC| = |BC|2 te je time tvrdnja dokazana.

== Primjena ==

[[Datoteka:SquareDefinition.svg|thumb|left|Kvadrat.]]
=== Kvadrat ===

Stranice [[kvadrat]]a zatvaraju [[kut]] od 90°. Neka je zadan kvadrat ''ABCD''. Primijenimo Pitagorin poučak na trokut ''BCD'':

[[File:Rectangle.svg|thumb|right|Pravokutnik.]]
<math>a^2 + a^2 = d^2</math>

te nakon sređivanja:

<math>d = a\sqrt{2}</math>

=== Pravokutnik ===

Stranice [[pravokutnik]]a također zatvaraju kut od 90°. Neka je zadan pravokutnik ''ABCD''. Primjenom Pitagorina poučka na trokut ''ABC'':

[[File:45-45-triangle.svg|thumb|right|''Jednakokračan pravokutan trokut'' pola je kvadrata]]
<math>a^2 + b^2 = d^2</math>

=== Jednakokračan trokut ===

Neka je ''ABC'' jednakokračan [[trokut]] s osnovicom {{nadcrta|AB}}. Neka okomica iz vrha C na {{nadcrta|AB}} siječe dužinu {{nadcrta|AB}} u točki D. Primijenimo Pitagorin poučak na trokut ''ADC'':

<math>\left(\frac{a}{2}\right)^2 + v^2 = b^2</math>

gdje je ''a'' duljina osnovice, ''v'' je duljina visine, a ''b'' duljina kraka trokuta.

[[File:30-60-90.svg|thumb|left|184px|Jednakostraničan trokut]]
=== Jednakostraničan trokut ===

Uz oznake kao na slici, primijenimo Pitagorin poučak na trokut ''ABD'':

<math>\left(\frac{a}{2}\right)^2 + v^2 = a^2</math>

te nakon sređivanja slijedi:

<math>v = \frac{a\sqrt{3}}{2}</math>

[[File:Rombo 113.svg|thumb|right|Romb. Na crveni trokut primijenili smo Pitagorin poučak.]]
=== Romb ===

<math>\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 = a^2</math>

gdje je ''a'' duljina stranice, a ''e'' i ''f'' su duljine [[dijagonala]] [[romb]]a.

=== Jednakokračan trapez ===
[[File:Isosceles trapezoid.jpg|left|158px]]

<math>\left(\frac{a-c}{2}\right)^2 + v^2 = b^2</math>

gdje su ''a'' i ''c'' duljine osnovica, ''b'' je duljina krakova, a ''v'' je duljina visine [[trapez]]a.

== Obrat Pitagorina poučka ==

Vrijedi i obrat ovoga poučka:

: Ako za duljine stranica ''a'', ''b'', ''c'' nekog trokuta vrijedi c2 = a2 + b2, tada je taj trokut pravokutan.<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=uGIJFSOlFrs Obrat Pitagorinog poučka, YouTube]</ref>

== Pitagorine trojke ==

[[Pitagorine trojke|Pitagorina trojka]] (ili Pitagorini brojevi) je [[n-torka|uređena]] trojka [[prirodni broj|prirodnih brojeva]] ''x'', ''y'', ''z'' koji zadovoljavaju [[diofantska jednadžba|diofantsku jednadžbu]] x2 + y2 = z2. Sva rješenja te [[jednadžba|jednadžbe]], tj. sve Pitagorine trojke dane su sa:<ref>[http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=48475 Hrvatska enciklopedija]</ref>

<math>x = m^2 - n^2</math>

<math>y = 2mn</math>

<math>z = m^2 + n^2</math>

gdje su ''m'' i ''n'' proizvoljni prirodni brojevi. Na primjer, za ''m'' = 2, ''n'' = 1, dobijemo Pitagorinu trojku (3, 4, 5).

U ''primitivnim Pitagorinim trojkama'' barem su dva broja relativno prosta. Postoji ih 16 u kojima je ''c'' ≤ 100:

{| style="margin:auto;" cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (3, 4, 5)
|style="padding:0 1em"| (5, 12, 13)
|style="padding:0 1em"| (8, 15, 17)
|style="padding:0 1em"| (7, 24, 25)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 21, 29)
|style="padding:0 1em"| (12, 35, 37)
|style="padding:0 1em"| (9, 40, 41)
|style="padding:0 1em"| (28, 45, 53)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (11, 60, 61)
|style="padding:0 1em"| (16, 63, 65)
|style="padding:0 1em"| (33, 56, 65)
|style="padding:0 1em"| (48, 55, 73)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (13, 84, 85)
|style="padding:0 1em"| (36, 77, 85)
|style="padding:0 1em"| (39, 80, 89)
|style="padding:0 1em"| (65, 72, 97)
|}

Uz to, povijesno je važan i '''Fermatov teorem''' koji kaže da ne postoji stranice pravokutnog trokuta <math>x, y, z </math> za koje je <math>x^4 + y^4 = z^2.</math> Drugim riječima, ne postoji pravokutni trokut s katetama čije su duljine potpuni kvadrati.

== U fraktalima ==
[[File:Red Pythagoras tree with blue background.gif|thumb|Pitagorino stablo.]]
Pitagorino stablo je [[fraktal]] u [[ravnina|ravnini]]. 1942. ga je izumio Albert E. Bosman, [[nizozemci|nizozemski]] profesor matematike.<ref>[http://oeis.org/wiki/Pythagoras_tree OEIS Wiki]</ref> Ono možemo smjestiti u [[pravokutnik]] širine ''6a'' i visine ''4a'', gdje je ''a'' duljina stranice najvećeg [[kvadrat]]a u stablu.

{|
|+'''Konstrukcija Pitagorina stabla'''
|-
| [[image:PythagorasTree1.png|none|Konstrukcija Pitagorina stabla, stupanj 0]]
| [[image:PythagorasTree2.png|none|Stupanj 1]]
| [[image:PythagorasTree3.png|none|Stupanj 2]]
| [[image:PythagorasTree4.png|none|Stupanj 3]]
|-
|align="center"| Stupanj 0
|align="center"| Stupanj 1
|align="center"| Stupanj 2
|align="center"| Stupanj 3
|}

Pitagorino stablo konstruiramo tako da prvo nacrtamo kvadrat duljine stranice ''a''. Zatim nad jednom njegovom stranicom konstruiramo jednakokračan pravokutan trokut kojemu je [[pravi kut]] nasuprot stranici kvadrata. Nad katetama pravokutnog trokuta nacrtamo dva kvadrata. Ovaj korak ponavljamo itd.

U svakom koraku docrtavamo 2''n'' - 1 trokuta i 2''n'' kvadrata, gdje je ''n'' stupanj Pitagorina stabla. [[Površina]] svakog kvadrata iznosi 2-''n''. Zbroj površina svih kvadrata iznosi 1. Površina svakog trokuta iznosi 2-''n'' - 2. Zbroj površina svih trokuta iznosi <math>\tfrac{1}{4}</math>.

== Povijest ==

Iako je poučak nazvan po [[Pitagora|Pitagori]], bio je poznat još i starim [[Babilon]]cima oko 1800 godina prije Krista, te Kinezima oko 1100 godina prije Krista.

== Izvori ==

{{izvori}}

[[Kategorija:Geometrija]]
[[Kategorija:Znanost i tehnologija u staroj Grčkoj]] 
[[Kategorija:Matematički poučci]]