Suradnik10 u (test) 16:05, 18. ožujak 2026.

2026-03-18T16:05:57Z

←Starija inačica		Inačica od 18. ožujak 2026. u 16:05
Redak 235:		Redak 235:
	{{izvori}}		{{izvori}}

	~~==Vanjske poveznice==~~
	* [https://www.hr Vanjska poveznica]

	[[Kategorija:U izradi]]		[[Kategorija:U izradi]]
			[[Kategorija:Fizika]]

Suradnik10 u (test) 15:54, 18. ožujak 2026.

2026-03-18T15:54:22Z

←Starija inačica		Inačica od 18. ožujak 2026. u 15:54
Redak 1:		Redak 1:
	U [[Fizika\|fizici]]''', particijska funkcija''' ili '''~~suma~~ po stanjima''' (njem. ''Zustandssumme'') je funkcija koja opisuje statistička svojstva sustava u ~~termodinamičkom ekvilibrijumu~~.		U [[Fizika\|fizici]]''', particijska funkcija''' ili '''zbroj po stanjima''' (njem. ''Zustandssumme'') je funkcija koja opisuje statistička svojstva sustava u termodinamičkoj ranoteži.

	Particijska funkcija predstavlja mjeru ~~volumena~~ koju sustav zauzima u faznom prostoru. Drugim riječima, daje broj mikrostanja koja su dostupna sustavu za određeno makrostanje.<ref>{{cite book		Particijska funkcija predstavlja mjeru obujma koju sustav zauzima u [[fazni prostor\|faznom prostoru]]. Drugim riječima, daje broj [[mikrostanje\|mikrostanja]] koja su dostupna sustavu za određeno [[makrostanje]].<ref>{{cite book
	\| last=Schroeder		\| last=Schroeder
	\| first=Daniel V.		\| first=Daniel V.
Redak 219:		Redak 219:
	i ovo rješenje je općenito rješenje opisuje sve čestice koje podliježu [[Bose-Einsteinova statistika\|Bose-Einsteinovoj statistici]].		i ovo rješenje je općenito rješenje opisuje sve čestice koje podliježu [[Bose-Einsteinova statistika\|Bose-Einsteinovoj statistici]].

	Konačni oblik krivulje Planckovog zakona dan je izrazom:		Konačni oblik krivulje [[Planckov zakon\|Planckovog zakona]] dan je izrazom:

	<math>		<math>

Bot1: Automatski uvoz s hrwiki (zadnjih 38 sati)

2026-03-18T09:33:55Z

Automatski uvoz s hrwiki (zadnjih 38 sati)

Nova stranica

U [[Fizika|fizici]]''', particijska funkcija''' ili '''suma po stanjima''' (njem. ''Zustandssumme'') je funkcija koja opisuje statistička svojstva sustava u termodinamičkom ekvilibrijumu.

Particijska funkcija predstavlja mjeru volumena koju sustav zauzima u faznom prostoru. Drugim riječima, daje broj mikrostanja koja su dostupna sustavu za određeno makrostanje.<ref>{{cite book
| last=Schroeder
| first=Daniel V.
| title=An Introduction to Thermal Physics
| publisher=Addison-Wesley
| year=2000
| isbn=0-201-38027-7
}}</ref>

Većina makroskopskih varijabli sustava, kao što su [[energija]], slobodna energija, [[entropija]] i [[tlak]], mogu se izraziti pomoću particijske funkcije ili derivacija iste. Time particijska funkcija zauzima glavno mjesto među konceptima statističke mehanike. Ukoliko je poznata particijska funkcija poznate su skoro sve veličine koje bi bile od interesa u statističkoj mehanici i [[Termodinamika|termodinamici]]. Razlog tome je što particijska funkcija matematički ima ulogu ''funkcije izvodnice momenta'' (vrsta funkcije koja u [[statistika|statistici]] služi za izvođenje momenata{{efn|U statistici, moment neke slučajne razdiobe opisuje izgled grafa te razdiobe.}} [[Funkcija gustoće vjerojatnosti|slučajne razdiobe]].

Za najpoznatije statističke ansamble definirane su pripadajuće particijske funkcije. Tako se kanonska particijska funkcija primjenjuje se na kanonski ansambl, u kojem sustav može izmjenjivati toplinu s okolinom pri fiksnoj temperaturi i fiksnom volumenu i broju čestica. Velekanonska particijska funkcija primjenjuje se na vekanonski ansambl, u kojem sustav može izmjenjivati i toplinu i čestice s okolinom, pri fiksnoj temperaturi i fiksnom volumenu i kemijskom potencijalu.

Kao i većinu koncepata iz [[Statistička mehanika|statističke mehanike]], particijska funkcija je nastala razmatranjem [[Ludwig Boltzmann|Boltzmanna]], [[Josiah Willard Gibbs|Gibbsa]] i [[James Clerk Maxwell|Maxwella]].<ref>{{cite journal | last=Boltzmann | first=Ludwig | year=1868 | title=Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten | journal=Wiener Berichte | language=German}}</ref><ref>{{cite book | last=Gibbs | first=Josiah Willard | title=On the Equilibrium of Heterogeneous Substances | publisher=Connecticut Academy of Arts and Sciences | year=1876}}</ref>

==Uvod==
[[File:Boltzmann distribution labeled.png|right|thumb|250px|Boltzmannova raspodjela je eksponencijalna raspodjela za različite temperature.]]
Jako važan koncept u statističkoj mehanici je tzv. Boltzmannov faktor:

<div style="border:2px solid black; width:max-content; margin:0 auto; padding:2px 5px"><math>e^{\frac{-E_i}{kT}}-\text{Boltzmannov faktor}</math> </div>

gdje <math>E_i</math> predstavlja energiju <math>i</math>-tog stanja sustava, <math>k</math> je Boltzmannova konstanta, a <math>T</math> je temperatura.

Ovaj faktor povezan je s vjerojatnošću pronalaska sustava u određenom mikrostanju, kada je sustav u termodinamičkom ekvilibrijumu s toplinskim spremnikom konstantne temperature.

Kako bi se moglo govoriti na matematički ispravan način o kontinuiranim vjerojatnostima, potrebno je definirati [[Funkcija gustoće vjerojatnosti|funkciju raspodjele]] slučanje varijable. Razlog tome je jer se vjerojatnost mora normalizirati (ukupna površina ispod raspodijele vjerojatnosti mora iznositi <math>1</math>, odnosno). Ukoliko se Boltzmannov faktor podijeli s normalizacijskom konstantom dobija se [[Boltzmannova raspodjela|Boltzmannova raspodjela]]:

<math>{\displaystyle {p}_i={\frac {e^{\frac {-E_i}{kT}}}{Z}}}</math>

gdje je <math>Z</math> normalizacijska konstanta ujedno i '''particijska funkcija'''.

Gornja funkcija vjerojatnosti može se poistovjetiti sa gustoćom vjerojatnosti definiranom u faznom prostoru.<ref>{{cite book | last=Tolman | first=Richard C. | title=The Principles of Statistical Mechanics | publisher=Oxford University Press | year=1938 | isbn=9780198520474}}</ref>

Kako suma svih vjerojatnosti mora biti jednaka jedinici slijedi:

<math>1 = \sum_i p_i = \sum_i {\frac {e^{\frac {-E_i}{kT}}}{Z}} = \frac{1}{Z}\sum_i e^{\frac {-E_i}{kT}},</math>

odnosno:

<div style="border:2px solid black; width:max-content; margin:0 auto; padding:2px 5px"><math>Z = e^{\frac {-E_i}{kT}}</math> </div>

Gornja jednadžba je definicija particijske funkcije. Bitno je naglasiti kako je particijska funkcija ovisna o temperaturi <math>T</math>.

Na ovaj način particijska funkcija naizgled preuzima ulogu normalizacijske konstante, ali one je puno više od toga.

==Kao funkcija izvodnice momenta==

U statistici, za bilo koju raspodjelu vjerojatnosti <math>p</math> neke slučajne varijable <math>X</math>, funkcija izvodnice <math>\mathcal{M}(z)</math> definirana je kao:

<math>
\mathcal{M}(z) \equiv \left\langle e^{zX}\right\rangle .
</math>

Tako da npr. prva derivacija je jednaka očekivanoj vrijednosti:

<math>
\left(\frac{\partial \mathcal{M}}{\partial z}\right)_{z = 0} = \langle X \rangle,
</math>

druga derivacija jednaka je

<math>
\left(\frac{\partial^2 \mathcal{M}}{\partial z^2}\right)_{z = 0} = \langle X^2 \rangle,
</math>

i općenito
<math>
\mathcal{M}^{(n)}(0) = \langle X^n \rangle.
</math>

==Povezanost s termodinamikom==

Na sličan način kao u prethodnom poglavlju, pomoću poznavanja particijske funkcije moguće je dobiti veliki broj drugih termodinamičkih funkcija koje bi bile od interesa<ref>{{cite book | last=Peliti | first=Luca | title=Statistical Mechanics in a Nutshell | publisher=Princeton University Press | year=2011 | isbn=9780691145297}}</ref>:

Ranije izvedena particijska funkcija se vrlo često zapisuje u skraćenom obliku pomoću termodinamičke bete <math>\beta</math> kao:
<math>
Z = \sum_i e^{-\beta E_i}, \quad \beta = \frac{1}{k_B T}.
</math>

Deriviranjem particijske funkcije, dobijaju se najbitnije termodinamičke varijable na slijedeči način:

<math>
\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} \quad \text{- očekivana vrijednost energije}
</math>

<math>
F = -k_B T \ln Z \quad \text{- Helmholtzova slobodna energija}
</math>

<math>
\langle (\Delta E)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2} \quad \text{- fluktuacije energije / varijanca}
</math>

<math>
S = k_B \left(\ln Z + \beta \langle E \rangle \right) \quad \text{- entropija}
</math>

<math>
p = \frac{1}{\beta} \left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_T \quad \text{- tlak}
</math>

<math>
C_V = \left(\frac{\partial \langle E \rangle}{\partial T}\right)_V = \frac{\langle (\Delta E)^2 \rangle}{k_B T^2} \quad \text{- toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu}
</math>

<math>
G = F + pV \quad \text{- Gibbsova slobodna energija}
</math>

<math>
H = \langle E \rangle + pV \quad \text{- entalpija}
</math>

<math>
\mu = -\frac{1}{\beta} \left(\frac{\partial \ln Z}{\partial N}\right)_{T,V} \quad \text{- kemijski potencijal}
</math>

==U statističkoj mehanici==

U klasičnoj mehanici za kontinuirane sustave particijska funkcija se definira umjesto sume pomoću integrala.

Tako kontinuiranog ansambla glasi:

<math>{\displaystyle Z={\frac {1}{h^{3}}}\int e^{-\beta H(q,p)}\,d^{3}q\,d^{3}p}</math>

gdje <math>H</math> predstavlja [[Analitička_mehanika#Hamiltonova_mehanika|Hamiltonijan]] sustava, a <math>h</math> je normalizirajuća konstanta, često uzeta kao [[Planckova konstanta]].

Za sustav od <math>N</math> identičnih čestica particijska funkcija glasi:

<math>{\displaystyle Z={\frac {1}{N!h^{3}}}\int e^{-\beta H(q,p)}\,d^{3}q\,d^{3}p}</math>

gdje se podijelilo s članom <math>N!</math> da se izbjegne neispravno prebrojavanje čestica.

===Idealni plin===
[[Jednadžba stanja idealnog plina|Zakon idealnog plina]] moguće je izvesti koristeći samo particijsku funkciju, bez ikakvih eksperimenata.

Ukoliko se pretpostavi da čestice idealnog plina ne djeluju jedna na drugu, Hamiltonijan idealnog plina glasi (skup slobodnih čestica) glasi:

<math>H(q^N, p^N) = \sum_i^N \frac{|p_i|^2}{2m}</math>

Uvrštavanjem u particijsku funkciju dobije se:

<math>
Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int \cdots \int \exp\Bigg[-\beta \sum_{i=1}^{N} \frac{|p_i|^2}{2m}\Bigg] \, \mathrm{d}^{3N}q \, \mathrm{d}^{3N}p
</math>

Rješavanjem integrala dobije se particijska funkcija idealnog plina:
{{Quote box
| quote = Koristio se poznati Gaussov integral:<br>
<math>\int_{\mathbb{R}^n} e^{\frac{-ax^2}{2}} \, \mathrm{d}^n x = \left(\frac{2 \pi}{a}\right)^{n/2}</math>
| source =
| width = 220px
| align = right
}}

<math>Z = \frac{V^N}{N!h^{3N}} (2\pi k T m)^{\frac{3N}{2}}</math>

Korištenjem prije iznesenih formula dobije se konačno rješenje:

<math> F = -k_B T \ln Z </math>

<math>
p = - \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{N k_B T}{V}
</math>

Odnosno:

<math>pV = Nk T = (n\cdot N_A) k T = n R T</math>

gdje je <math>N_A</math> Avogadrova konstanta, a <math>R</math> konstanta idealnog plina.

Za odabire drukčijeg Hamiltonijana, odnosno odabire potencijala koji nije jednak nuli mogu se modelirati kompliciranije jednadžbe stanja plina, kao npr. [[Van der Waalsova jednadžba stanja]].

==U kvantnoj mehanici==

U kvantnoj mehanici, particijska funkcija se definira na vrlo sličan način kao:

<math>
Z = \mathrm{Tr}\left(e^{-\beta H}\right)
</math>

gdje je <math>\mathrm{Tr}</math> operator traga, a <math>H</math> je sada operator Hamiltonijana.

===Planckov zakon zračenja===

Planck je svoj [[Planckov zakon|zakon zračenja]] modelirao tako da je opisao elektromagnetsko zračenje u šupljini kao skup kvantnih harmoničkih oscilatora.

Tako, za Hamiltonijan sustava uzima se:
<math>
H = \sum_{\mathbf{k}, s} \hbar \omega_k \, n_{\mathbf{k},s}, \quad n_{\mathbf{k},s} = 0,1,2,\dots
</math>

Podsjetnik kako je energija kvantnog harmonijskog oscilatora jednaka<ref>{{cite book | last=Griffiths | first=David J. | title=Introduction to Quantum Mechanics | edition=2nd | publisher=Pearson Prentice Hall | year=2005 | isbn=9780131118928}}</ref>:
<math>
H = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0,1,2,\dots
</math>
gdje je <math>E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega</math> energija nultog stanja (vakuumski član) koji neće utjecati na rješenje Planckovoga problema.<ref>{{cite book | last=Kapusta | first=Joseph I. | title=Finite-Temperature Field Theory | publisher=Cambridge University Press | year=1989 | isbn=978-1-009-40195-1 }}</ref>

Particijska funkcija se može rješiti kao geometrijski niz na slijedeći način:
{{Quote box
| quote = Općeniti izraz za geometrijski niz korišten ovdje glasi:<br><math>\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}</math>
| source =
| width = 220px
| align = right
}}

<math>
Z = \prod_{\mathbf{k}, s} \sum_{n_{\mathbf{k},s}=0}^{\infty} e^{-\beta \hbar \omega_k n_{\mathbf{k},s}}
= \prod_{\mathbf{k}, s} \frac{1}{1 - e^{-\beta \hbar \omega_k}}
</math>

<math>
\langle E \rangle = - \frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z
= \frac{\hbar \omega_k}{e^{\beta \hbar \omega_k} - 1}
</math>

i ovo rješenje je općenito rješenje opisuje sve čestice koje podliježu [[Bose-Einsteinova statistika|Bose-Einsteinovoj statistici]].

Konačni oblik krivulje Planckovog zakona dan je izrazom:

<math>
u_{\nu}(\nu, T) =
\frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}
\frac{1}{e^{\frac{h \nu}{k_B T}} - 1}
</math>

gdje konstanta predstavlja broj modova fotona po jedinici volumena po frekvencijskom intervalu.<ref>{{cite book | last1=Brehm | first1=J. J. | last2=Mullin | first2=W. J. | title=Introduction to the Structure of Matter | publisher=Wiley | year=1989 | isbn=978-0-471-60531-7}}</ref>

==Bilješke==
{{bilješke}}

==Izvori==
{{izvori}}

==Vanjske poveznice==
* [https://www.hr Vanjska poveznica]

[[Kategorija:U izradi]]

Particijska funkcija - Povijest promjena

Suradnik10 u (test) 16:05, 18. ožujak 2026.

Suradnik10 u (test) 15:54, 18. ožujak 2026.

Bot1: Automatski uvoz s hrwiki (zadnjih 38 sati)