WikiSysop: Zamjena teksta - '' u ''

2025-05-27T13:02:42Z

Zamjena teksta - '' u ''

←Starija inačica		Inačica od 27. svibanj 2025. u 13:02
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Parabola'''-->~~{{dz\|[[Parabola (figura)]]}}		{{dz\|[[Parabola (figura)]]}}
	[[Slika:Conicas2.PNG\|mini\|270px\|Parabola je krivulja koja nastaje na presjeku između stošca i ravnine.]]		[[Slika:Conicas2.PNG\|mini\|270px\|Parabola je krivulja koja nastaje na presjeku između stošca i ravnine.]]
	[[Slika:Qfunction.png\|mini\|270px\|Parabola kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava.]]		[[Slika:Qfunction.png\|mini\|270px\|Parabola kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava.]]

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-16T00:08:20Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

{{dz|[[Parabola (figura)]]}}
[[Slika:Conicas2.PNG|mini|270px|Parabola je krivulja koja nastaje na presjeku između stošca i ravnine.]]
[[Slika:Qfunction.png|mini|270px|Parabola kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava.]]
[[Datoteka:Getaldićeva konstrukcija parabole.png|270px|mini|desno|Getaldićeva konstrukcija parabole]]
[[Slika:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|270px|Parabolična putanja mlaza vode.]]

'''Parabola''' (ili '''hitnica''')<ref>[https://sketchpad.carnet.hr/opis-projekta.htm Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad]</ref> je skup svih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od zadane [[točka (geometrija)|točke]] (žarišta) i zadanog [[pravac|pravca]] (ravnalice). Poluparametar parabole je udaljenost od žarišta do ravnalice. <br />
Parabola je [[krivulja]] koja nastaje presjekom [[stožac|stošca]] i ravnine.

==Jednadžba parabole==

Ako je ravnalica parabole ''r'' usporedna ordinati (y-os koordinatnog sustava), i njena je [[jednadžba]] <math> x = - \frac{p}{2}, </math> gdje je <math> p </math> poluparametar parabole, tada je tjeme parabole u ishodištu [[koordinatni sustav|koordinatnog sustava]], a žarište parabole ima koordinate <math> F(\frac{p}{2},0), </math> pa jednadžba oblika:

:<math> y^2 = 2px \, </math>

predstavlja tjemenu jednadžbu parabole. Ako je parabola [[simetrija|osnosimetrična]] u odnosu na ordinatu, tada je njezina jednadžba:

:<math> x^2 = 2py \, </math>.

== Konstrukcija parabole ==
Jedna od najpoznatijih sintetičkih konstrukcija parabole je upravo konstrukcija koju je iznio poznati [[Dubrovnik|dubrovački]] matematičar novoga vijeka, [[Marin Getaldić]]. Tu je konstrukciju Getaldić iznio kao rješenje zadatka koji se nalazio u njegovom djelu ''Nonnullae propositiones de parabola'' (Rim 1603.).

Tekst zadatka je glasio: ''Parabolam as constructionem speculi as propositum intervalum comburentis in plano describere'' (Probl. II; propos.7). U prijevodu: "nacrtati u ravnini parabolu za konstrukciju zrcala, koje upaljuje u zadanom intervalu". Ovime je Getaldić bio na korak otkrivanju [[Analitička geometrija|analitičke geometrije]]. Ipak, presudni skok su načinili tek [[Pierre de Fermat]] i [[Rene Descartes]] nekoliko desetljeća kasnije.

Nacrtajmo dvije međusobno okomite osi. Na sjecištu osi označimo točku ''A''. Na okomitoj osi zadajmo točku ''B''. Nacrtajmo točke ''C, D, E'' iznad ''A'' tako da vrijedi <math>|AC| = |CD| = |DE|.</math> Nacrtajmo ispod ''A'' točke ''F, G, H'' tako da vrijedi <math>|AF| = |AC|,
|AG| = |AD|, |AH| = |AE|.</math> Nacrtajmo kružnice sa središtem u točki ''B'' i pripadajućim polumjerima <math>|BC|, |BD|, |BE|</math>. Povucimo okomice na dužinu ''AB'' koje će prolaziti točkama ''F, G, H''. Sjecišta okomica i kružnica označimo točkama ''O, M, K, L, N'' i ''P''. Krivulja koja povezuje točke ''O, M, K, L, N'' i ''P'' čini parabolu. Što su točke ''C, D, E'', tj. ''F, G, H'' međusobno bliže, i što je takvih točaka više, parabola će biti preciznije iscrtana.

Dokaz. Prenese li se ''AQ'', tj. četverostruka dužina od ''AB'', pa se povuče ''KB'', bit će zbog <math>|BC| = |BK|</math> ujedno <math>|BC|^2 = |BK|^2</math> pa kako je <math>|KB|^2 = |KF|^2 + |FB|^2</math> (1), a ujedno (Euklid, Elementi, II, 8)<ref>https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII8.html</ref>: <math>4|AF| \cdot |AB| + |BF|^2 = (|AB| + |AF|)^2 = |BC|^2,</math> imat ćemo iz (1): <math>4|AF| \cdot |AB| = |KF|^2</math>. Kako je pak <math>|AQ| = 4|AB|</math> bit će <math>|AQ| \cdot |AF| = 4|AB| \cdot |AF|</math>.

Zato vrijedi <math>|AQ| \cdot |AF| = |KF|^2</math>, što je zapravo jednadžba parabole, čime je konstrukcija dokazana.<ref>http://mis.element.hr/fajli/119/06-10.pdf</ref>

==Tangenta parabole==

[[Tangenta]] parabole kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom ''T'' <math> (x_0, y_0)</math> na paraboli, određena je koordinatama točke ''T'' i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući odgovarajuću jednadžbu parabole dobiva se:

:<math> 2ydy = 2pdx \, </math>

odakle slijedi da je

:<math> y'= \frac{dy}{dx} = \tan \alpha\, = \frac{p}{y} </math>

odn. da je jednadžba tangente na parabolu

:<math> y-y_0 = \frac{p}{y} (x-x_0) \, </math>.

Ako je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu (''y''-os) koordinatnog sustava, tada diferencirajući odgovarajuću jednadžbu parabole slijedi da je

:<math> 2xdx = 2pdy \, </math>

odakle slijedi da je

:<math> y' = \frac{dy}{dx}= \tan \alpha = \frac{x}{p} </math>

odn. da je jednadžba tangente na parabolu

:<math> y-y_0 = \frac{x}{p} (x-x_0) \, </math>.

==Tjeme parabole==
====Tjeme preko Viétovih formula====
Neka su <math>x_1</math> i <math>x_2</math> točke na paraboli koja je dana jednadžbom <math>y=ax^2+bx+c</math> jednako udaljene od njezina tjemena, te neka je, bez smanjenja općenitosti, <math>x_1<x_2</math>. Tada se apscisa tjemena <math>x_0</math>, nalazi na pravcu koji prolazi polovištem intervala <math>[x_1,x_2]</math>, tj. <math>x_0=\frac{x_1+x_2}{2}</math>, odnosno koristeći [[François Viète|Viétove formule]] <math>x_0=-\frac{b}{2a}</math>.

Kako ordinata tjemena ovisi o <math>x_0</math>, odnosno vrijedi <math>y_0 = f(x_0) </math> pa uvrštavajući u jednadžbu dane parabole dobivamo
<math>y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}</math>.

Prema tome, koordinate tjemena svake parabole su <math>T(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})</math>.<ref>Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 2, udžbenik matematike za gimnazije i tehničke škole, Zagreb, 2014.</ref>

==== Tjeme preko vertikalne translacije parabole ====
Izvod formule za tjeme ima još jedno geometrijsko značenje.

Treba uočiti da je apscisa tjemena parabole predočene grafom <math>y = ax^2 + bx + c </math> potpuno neovisna o broju <math>c</math>. Zato možemo sve parabole tog oblika translatirati tako da bude <math>c = 0 </math> čime im se nultočke jesu promijenile, no to ne predstavlja problem jer je apscisa tjemena svake od njih ostala nepromijenjena.

Neka je sada <math>f(x) = ax^2 + bx </math>. Istaknut ćemo njezine nultočke ako zapišemo <math>f(x)</math> u obliku <math>f(x) = x(ax + b)</math>. Očito je da će parabola sijeći x-os za <math> x = 0, x = - \frac{b}{a} </math>. Zbog simetrije parabole, apscisa tjemena je točno između tih dviju točaka, tj. apsisa tjemena iznosi <math>x_0 = -\frac{b}{2a} </math>.

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija:Krivulje]]
[[Kategorija:Algebarske krivulje]]
[[Kategorija:Krivulje drugog reda]]

Parabola - Povijest promjena

WikiSysop: Zamjena teksta - '' u ''

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica