Suradnik10 u (test) 17:39, 15. veljača 2026.

2026-02-15T17:39:53Z

←Starija inačica		Inačica od 15. veljača 2026. u 17:39
Redak 1:		Redak 1:
	[[File:Noether theorem 1st page.png\|thumb\| Prva stranica [[Emmy Noether]]inog članka "Invariante Variationsprobleme" (1918), gdje je dokazala svoj teorem.]]		[[File:Noether theorem 1st page.png\|thumb\| Prva stranica [[Emmy Noether]]inog članka "Invariante Variationsprobleme" (1918), gdje je dokazala svoj teorem.]]
	'''Noetherin teorem''' jest teorem u teorijskoj fizici koji povezuje [[Simetrija\|simetrije]] i zakone očuvanja. Nazvan je po njemačkoj matematičarki [[Emmy Noether]] koja ga je prva izrekla i dokazala 1918. godine.<ref>{{cite journal		'''Noetherin teorem''' jest teorem u teorijskoj fizici koji povezuje [[Simetrija\|simetrije]] i zakone očuvanja. Nazvan je po njemačkoj matematičarki [[Emmy Noether]] koja ga je prva izrekla i dokazala [[fizika u 1918.\|1918.]] godine.<ref>{{cite journal
	\| last = Noether		\| last = Noether
	\| first = Emmy		\| first = Emmy
Redak 10:		Redak 10:
	}}</ref>		}}</ref>
	Noetherin teorem glasi:		Noetherin teorem glasi:
	<blockquote>''Za svaku kontinuiranu simetriju ~~Lagranžijana~~ fizikalnog sustava postoji odgovarajući zakon očuvanja koji tvrdi da je Noetherin naboj očuvan kada vrijede jednadžbe gibanja.''</blockquote>		<blockquote>''Za svaku kontinuiranu simetriju Lagrangeanova fizikalnog sustava postoji odgovarajući zakon očuvanja koji tvrdi da je Noetherin naboj očuvan kada vrijede jednadžbe gibanja.''</blockquote>

	Neformalno se može izreći na sljedeći način:		Neformalno se može izreći na sljedeći način:
Redak 19:		Redak 19:

	==Povijesni kontekst==		==Povijesni kontekst==
	Emmy Noether prvenstveno je bila matematičarka koja se bavila apstraktnom algebrom, kao i njezin otac Max Noether. Godine 1915. [[David Hilbert]] zamolio ju je za pomoć u pokušaju razumijevanja statusa očuvanja energije u [[Opća teorija relativnosti\|općoj teoriji relativnosti]].		Emmy Noether prvenstveno je bila matematičarka koja se je bavila apstraktnom algebrom, kao i njezin otac Max Noether. Godine 1915. [[David Hilbert]] zamolio ju je za pomoć u pokušaju razumijevanja statusa očuvanja energije u [[Opća teorija relativnosti\|općoj teoriji relativnosti]].

	[[Zakon očuvanja energije]] nije dobro definiran u općoj teoriji relativnosti, za razliku od klasične mehanike. Ipak, ako se prostor-vrijeme u području interesa smatra asimptotski ravnim, moguće je definirati zakon očuvanja energije. Ovaj važan aspekt opće relativnosti uvelike je pojašnjen Noetherinim teoremom.		[[Zakon očuvanja energije]] nije dobro definiran u općoj teoriji relativnosti, za razliku od klasične mehanike. Ipak, ako se [[prostor-vrijeme]] u području interesa smatra [[asimptota\|asimptotski]] ravnim, moguće je definirati zakon očuvanja energije. Ovaj važan aspekt opće relativnosti uvelike je pojašnjen Noetherinim teoremom.

	Teorem ima važne primjene u mnogim granama fizike. Noetherin pristup identificiranja simetrija s očuvanim veličinama čini osnovu [[standardni model\|standardnog modela fizike čestica.]]<ref>{{cite book		Teorem ima važne primjene u mnogim granama fizike. Noetherin pristup identificiranja simetrija s očuvanim veličinama čini osnovu [[standardni model\|standardnog modela fizike čestica.]]<ref>{{cite book

Suradnik10: preuzeto s hr.wikipedije

2026-02-15T16:49:38Z

preuzeto s hr.wikipedije

Nova stranica

[[File:Noether theorem 1st page.png|thumb| Prva stranica [[Emmy Noether]]inog članka "Invariante Variationsprobleme" (1918), gdje je dokazala svoj teorem.]]
'''Noetherin teorem''' jest teorem u teorijskoj fizici koji povezuje [[Simetrija|simetrije]] i zakone očuvanja. Nazvan je po njemačkoj matematičarki [[Emmy Noether]] koja ga je prva izrekla i dokazala 1918. godine.<ref>{{cite journal
| last = Noether
| first = Emmy
| title = Invariante Variationsprobleme
| journal = Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse
| year = 1918
| pages = 235–257
| url = https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN252457811_1918
}}</ref>
Noetherin teorem glasi:
<blockquote>''Za svaku kontinuiranu simetriju Lagranžijana fizikalnog sustava postoji odgovarajući zakon očuvanja koji tvrdi da je Noetherin naboj očuvan kada vrijede jednadžbe gibanja.''</blockquote>

Neformalno se može izreći na sljedeći način:
<blockquote>''
Ako sustav ima svojstvo kontinuirane simetrije, tada postoje odgovarajuće veličine koje su očuvane u vremenu.''</blockquote>

Prema Noetherinom teoremu, invarijantnost konzervativnog sustava na translacije (homogenost prostora) tako vodi do očuvanja [[zalet]]a (količine gibanja), invarijantnost na rotacije (izotropnost prostora) na očuvanje [[zamah]]a (kutne količine gibanja), dok invarijantnost na vremenske translacije (homogenost vremena) vodi do očuvanje energije.

==Povijesni kontekst==
Emmy Noether prvenstveno je bila matematičarka koja se bavila apstraktnom algebrom, kao i njezin otac Max Noether. Godine 1915. [[David Hilbert]] zamolio ju je za pomoć u pokušaju razumijevanja statusa očuvanja energije u [[Opća teorija relativnosti|općoj teoriji relativnosti]].

[[Zakon očuvanja energije]] nije dobro definiran u općoj teoriji relativnosti, za razliku od klasične mehanike. Ipak, ako se prostor-vrijeme u području interesa smatra asimptotski ravnim, moguće je definirati zakon očuvanja energije. Ovaj važan aspekt opće relativnosti uvelike je pojašnjen Noetherinim teoremom.

Teorem ima važne primjene u mnogim granama fizike. Noetherin pristup identificiranja simetrija s očuvanim veličinama čini osnovu [[standardni model|standardnog modela fizike čestica.]]<ref>{{cite book
| last = Lanczos
| first = Cornelius
| title = The Variational Principles of Mechanics
| publisher = University of Toronto Press
| year = 1949
}}</ref>

== Definicija==

Izvorno, Noetherin teorem, odnosno Noetherin prvi teorem izrekao se koristeći varijacijski račun u Lagrangeovoj formulaciji [[Analitička mehanika|analitičke mehanike]] u okviru klasične teorije polja.

===Noetherin teorem===

Neka je zadana Lagrangeova funkcija koja ovisi samo o varijabli <math>\phi</math> i gradijentu polja <math>\nabla \phi</math>, odnosno <math>L :
\phi \mapsto L(\phi, \nabla \phi)</math> i neka postoji kontinuirana simetrija polja <math>\phi \to \phi + \delta \phi</math> koja ostavlja Lagranžijan nepromijenjenim, tj. <math>\delta L = 0</math>.

Varijacija <math>L</math> po polju glasi:

<math display="block">
\begin{aligned}
\delta L
&=
\left( \frac{\delta L}{\delta \phi} \right)\delta \phi
+
\left( \frac{\delta L}{\delta (\nabla \phi)} \right)
\cdot \nabla \delta \phi \\[6pt]
&=
\underbrace{
\left(
\frac{\delta L}{\delta \phi}
-
\nabla \cdot
\left(
\frac{\delta L}{\delta (\nabla \phi)}
\right)
\right)
}_{\text{Euler-Lagrangeova jednadžba}}
\delta \phi
+
\nabla \cdot
\underbrace{\left(
\frac{\delta L}{\delta (\nabla \phi)}\,\delta \phi
\right)
}_{\text{Noetherina struja}},
\end{aligned}
</math>

gdje se u drugom koraku koristilo pravilo umnoška derivacije:

<math>f\,(\nabla g) =
-\,(\nabla f)\,g
+
\nabla (f g).</math>

====Euler-Lagrangeova jednadžba====

Upravo zbog postojanja kontinuirane simetrije Lagranžijana, varijacija Lagranžijana isčezava <math>\delta L = 0</math>, te ukoliko se zahtijeva da varijacija polja <math>\phi</math> isčezava na rubu <math>\delta \phi=0</math>, desni član nestaje i ostaje samo lijevi član koji je jednak nuli:

<math display="block">
\frac{\delta L}{\delta \phi}
-
\nabla \cdot
\left(
\frac{\delta L}{\delta (\nabla \phi)}
\right)
= 0.
</math>

Ovo je Euler-Lagrangeova jednadžba odnosno jednadžba gibanja sustava.

====Noetherina struja====

Ukoliko se druge strane pretpostavi da varijacija Lagranžijana nestaje dok vrijede jedndažbe gibanja, lijevi član je po definiciji nula te ostaje samo desni član:

<math display="block">
\nabla \cdot
\left(
\frac{\delta L}{\delta (\nabla \phi)}\,\delta \phi
\right)
= 0.
</math>

Ovo je iskaz Noetherinog teorema.

Izraz u zagradi <math display> p_\phi := \frac{\delta L}{\delta (\nabla \phi)}
</math> se zove kanonska količina gibanja polja <math>\phi</math>.

Noetheria struja se definira kao <math display>j := p_\phi\,\delta \phi</math> te Noetherin teorem glasi:

<div style="border:2px solid black; width:max-content; margin:0 auto; padding:2px 5px"> <math>\nabla \cdot j =0,</math> </div>

odnosno, teorem upravo govori kako je Noetherina struja očuvana ukoliko je Lagranžijan invarijantan na kontinuiranu simetriju <math>\phi \to \phi + \delta \phi</math>.

Za vremenski ovisne sustave vrijedi poopćeni izraz za Noetherinu struju:

<math>j^\mu = \sum_i \frac{\delta L}{\delta (\partial_\mu \phi_i)} \, \delta \phi_i
- \big( L \, \delta x^\mu - F^\mu \big).</math>

Odnosno, Noetherin teorem sada glasi:
<div style="border:2px solid black; width:max-content; margin:0 auto; padding:2px 5px"> <math>\partial_\mu j^\mu = 0.</math> </div>

==Mehanika diskretnih sustava==

Neka je zadana Lagrangeova funkcija za sustav s konačnim brojem stupnjeva slobode: <math display>
L = L(q, \dot q, t),
</math> i neka postoji kontinuirana simetrija koordinata <math>q \to q + \delta q(t)</math> koja ostavlja Lagranžijan nepromijenjenim, tj. <math>\delta L = 0</math>.

Varijacija Lagranžijana glasi:
<math display="block">
\begin{aligned}
\delta L
&= \frac{\partial L}{\partial q} \, \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \, \delta \dot q \\[2mm]
&=
\underbrace{\left(
\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q}
\right)}_{\text{Euler-Lagrangeova jednadžba}} \delta q
+
\frac{d}{dt} \underbrace{\left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \, \delta q \right)}_{\text{Noetherin naboj}},
\end{aligned}
</math>
gdje se opet koristilo pravilo o složenoj derivaciji.

Opet, ukoliko varijacija Lagranžijana isčezava te vrijede jednadžbe gibanja, slijedi: <math display>
\frac{d}{dt} (p \, \delta q) = 0.
</math>
Noetherin naboj se definira kao <math display>
Q := p \, \delta q,
</math> te vrijedi <math>\frac{dQ}{dt} = 0</math>.

Ovo je iskaz Noetherinog teorema u slučaju klasične mehanike čestica. Noetherin naboj je očuvan kada je Lagranžijan invariantan uslijed kontinuirane simetrije.

==Izvori==
{{izvori}}

==Vanjske poveznice==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/Noether%27s+theorem nLab: Noether's theorem]
* [https://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm MathPages: Primjeri i povijesni kontekst]

[[Kategorija:Teorijska fizika]]

Noetherin teorem - Povijest promjena

Suradnik10 u (test) 17:39, 15. veljača 2026.

Suradnik10: preuzeto s hr.wikipedije