WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-06T00:00:27Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

Općenito, '''niz''' možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je [[prethodnik]] i [[sljedbenik]] svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg).
To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz [[skup]]a <math>\lbrace 1, 2, 3,..., 20\rbrace</math> pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

== Matematička definicija niza ==

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: [[Funkcija | funkciju]] <math>f: \mathbb{N} \rightarrow S</math> zovemo '''niz''' u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije <math>f(n)=...</math>, označava sa <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> ili samo <math>(a_n)_n</math> ili <math>(a_n)</math>.

== Primjeri ==

Članovi niza zadanog sa <math>f(n)=\frac{1}{n}</math> izgledaju ovako: <math>(a_n)_1=1,\ (a_n)_2=\frac{1}{2},\ (a_n)_3=\frac{1}{3},\ (a_n)_4=\frac{1}{4},...</math>

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje.
Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila.
Primjer za takvu funkciju je:

<math>g(n):\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0</math>

<math>g(n) :=
\begin{cases}
n, & \mbox{ako je }n\mbox{ neparan} \\
0, & \mbox{ako je }n\mbox{ paran}
\end{cases}
</math>

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup <math>\mathbb{N}</math> (kodomena je skup <math>S=\mathbb{N}_0</math>).

Članovi ovog niza izgledaju ovako: <math>1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...</math>

== Važni nizovi ==

Posebno su važni [[aritmetički niz]] i [[geometrijski niz]].

== Konvergentni nizovi realnih brojeva ==

Niz <math>a_n</math> realnih brojeva konvergira realnom broju <math>a_0</math>, ako za svako <math>\epsilon > 0</math> postoji prirodni broj <math>n_0</math> takav da<ref name="SK">Kurepa, Svetozar, ''Matematička analiza 2 : funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.</ref>{{is|str. 67.}}

: <math> (n > n_0) \implies (|a_n - a_0| < \epsilon)</math>

Broj <math>a_0</math> se naziva [[Limes (matematika)|limes]] niza <math>a_n</math>. Kao primjer niz

: <math>a_n = \frac{1}{n}</math>

konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.<ref name="SK"></ref>{{is|str. 69.}}

== Izvori ==

{{Izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Niz - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica