WikiSysop: bmz

2022-03-20T08:11:45Z

bmz

←Starija inačica		Inačica od 20. ožujak 2022. u 08:11
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Nejednadžba'''-->'''~~Nejednadžba''' je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.		Nejednadžba''' je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.

	<!-- U postupku rješavanja [[jednadžba\|jednadžbe]] traži se jedna ili više vrijednosti nepoznate veličine koje udovoljavaju uvjetima koje postavlja jednadžba. Jednadžba, bez obzira na vrstu, uvijek sadrži znak jednakosti koji je uveo matematičar [[Robert Recorde]] ([[1510.]] – [[1558.]]) [[1557.]] godine i koji povezuje lijevu i desnu stranu jednadžbe. Za razliku od jednadžbe, lijevu i desnu stranu nejednadžbe povezuje Nije članak o jednadžbama. Definicija ne može biti negativna.-->		<!-- U postupku rješavanja [[jednadžba\|jednadžbe]] traži se jedna ili više vrijednosti nepoznate veličine koje udovoljavaju uvjetima koje postavlja jednadžba. Jednadžba, bez obzira na vrstu, uvijek sadrži znak jednakosti koji je uveo matematičar [[Robert Recorde]] ([[1510.]] – [[1558.]]) [[1557.]] godine i koji povezuje lijevu i desnu stranu jednadžbe. Za razliku od jednadžbe, lijevu i desnu stranu nejednadžbe povezuje Nije članak o jednadžbama. Definicija ne može biti negativna.-->

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-16T01:39:35Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Nejednadžba''' je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.


Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar [[Thomas Harriot]] ([[1560.]] – [[2. srpnja]] [[1621.]]).

Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se interval skupa svih vrijednosti ''x'' koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa <math>\le </math> ili <math>\ge </math>.

Zamjenom znaka „=“ znakom „>“ pretvara se jednadžba

:<math> 2x-4 = 6 \,</math>

u nejednadžbu

:<math> 2x-4 > 6 \,</math>.

Za razliku od rješenja jednadžbe, ''x'' = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti

:<math> x > 5 \,</math>,

Skup vrijednosti ''x'' koji udovoljava nejednadžbi sadržavati će sve realne brojeve od 5 do <math>+\infty</math> gdje sam broj 5 nije uključen u rješenje nejednadžbe. Da je nejednadžba bila zadana kao

:<math> 2x-4 \ge 10 \,</math>

tada bi skup vrijednosti ''x'' koji udovoljava nejednadžbi uključivao i broj 5.

===Pravila rješavanja nejednadžbi===

Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:

1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe smije se dodati i oduzeti isti broj.

2/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijeva i desna strana nejednadžbe smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem (različitim od nule).

3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine smiju se premiještati s jedne strane nejednadžbe na drugu uz promjenu predznaka

te nešto specifično za nejednadžbu

4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:

:<math> -x + 3 < 2x + 15 \,</math>

:<math> -x -2x < 15 - 3 \,</math>

:<math> -3x < 12 /(-1) \,</math>

:<math> 3x > -12 \,</math>

:<math> x > -4 \,</math>

===Sustav nejednadžbi s jednom nepoznanicom===

Sustav od više nejednadžbi postavit će, u pravilu, više različitih uvjeta za skup vrijednosti ''x'' rješenja nejednadžbi. Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom bit će skup svih realnih brojeva ''x'' koji istovremeno zadovoljavaju sve nejednadžbe. Primjer:

:<math> x + 6 > 0 \,</math>
:<math> -x-1 < 2 \,</math>
:<math> x - 1 > 1 \,</math>

Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti ''x'' rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:

rješenje prve nejednadžbe: ''x'' > -6, odn. interval <math>\left\langle-6, +\infty \right\rangle </math>,

rješenje druge nejednadžbe: ''x'' > -3, odn. interval <math>\left\langle-3, +\infty \right\rangle </math>,

rješenje treće nejednadžbe: ''x'' > 2, odn. interval <math>\left\langle2, +\infty \right\rangle </math>.

Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, ''x'' > 2 jer interval vrijednosti ''x'' <math>\left\langle2, +\infty \right\rangle </math> udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.

=='''Nejednadžbe složenijih oblika'''==
===Nejednadžba kao produkt binomnih članova===

Nejednadžbe mogu biti zadane u obliku produkta dva (ili više) binomnih članova. U tom slučaju svaki od članova postavlja neke određene uvjete kojima mora udovoljiti skup vrijednost ''x'' rješenja nejednadžbi. Primjer:

:<math> (x+1)(x-3)>0 \,</math>

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća od 0, što je ispunjeno u dva različita slučaja:

a)<math> (x+1)> 0 \,</math> i <math> (x-3)> 0 \,</math>

b)<math> (x+1)< 0 \,</math> i <math> (x-3)< 0 \,</math>.

Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom i rješavati odvojeno. Skup vrijednosti rješenja nejednadžbi mora udovoljavati kako slijedi:

:<math> a) x > -1 \,</math> i <math> x > 3 \,</math>

:<math> b) x < -1 \,</math> i <math> x < 3 \,</math>.

Kako bi skup rješenja ''x'' nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je ''x'' > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je ''x'' < -1. Skup vrijednosti ''x'' rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva
<math>\left\langle -\infty, -1\right\rangle </math>

<math>\left\langle 3, +\infty \right\rangle </math>.

===Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova===

Nejednadžba može biti zadana i kao kvocijent dva binomnih članova, gdje se u rješavanju razmišlja na ekvivalentan način kao u prethodnom primjeru. Primjer:

:<math> \frac{x^2+2}{x+2} \ge 0</math>

Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (''x''<sup>2</sup> + 2) za realne ''x'' uvijek pozitivan broj, mora i djelitelj (''x'' + 2) biti pozitivan kako bi razlomak bio veći od nule. To je ispunjeno za ''x''> -2. Skup vrijednosti rješenja ''x'' nejednadžbe bit će interval realnih brojeva <math>\left\langle -2, +\infty \right\rangle </math>.

===Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova===

Nejednadžba može biti zadana i kao složeni izraz koji uključuje više binomnih članova u još složenijem odnosu. Primjer:

:<math> \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} > 0 </math>

Izraz koji čini lijeva strana nejednadžbe možemo shvatiti i kao [[funkcija|funkciju]]

:<math> y = \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} </math>.

Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati [[nultočka|nultočke]] u točkama: ''x'' = -1 i ''x'' = 2, a polove u točkama ''x'' = -2 i ''x'' = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku

:<math> y = \frac{-x^2+x+2}{-x^2+x+6} </math>

Kako je limes funkcije pozitivan kada ''x'' teži u <math>-\infty</math> i kada teži u <math>+\infty</math>, funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki ''x'' biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako ''x'' poprima vrijednosti od <math>-\infty</math> prema <math>+\infty</math>,može se ustanoviti da će funkcija imati redom:

a)pozitivnu vrijednost u intervalu ''x'' od ''x'' = <math>-\infty</math> do prvog pola u ''x'' = -2,

b)negativnu vrijednost od prvog pola ''x'' = -2 do prve [[nultočka|nultočke]] ''x'' = -1,

c)pozitivnu vrijednost od prve [[nultočka|nultočke]] ''x'' = -1 do druge [[nultočka|nultočke]] ''x'' = 2,

d)negativnu vrijednost od druge [[nultočka|nultočke]] ''x'' = 2 do drugog pola u ''x'' = 3 te opet

e)pozitivnu vrijednost od ''x'' = 3 do ''x'' = <math>+\infty</math>.

Skup rješenja ''x'' nejednadžbe očito je iz unija intervala
<math>\left\langle -\infty, -2 \right\rangle \cup </math>
<math>\left\langle -1,2 \right\rangle \cup </math>
<math>\left\langle 3, +\infty\right\rangle </math>

Ekvivalentna analiza može se provesti i za bilo koji složeniji oblik nejednadžbe prikazan na odgovarajući način.

== Vidi ==
* [[eksponencijalna nejednadžba]]
* [[iracionalna nejednadžba]]
* [[Logaritamska nejednadžba]]

==Literatura==
*Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.

[[Kategorija: Jednadžbe i nejednadžbe]]

Nejednadžba - Povijest promjena

WikiSysop: bmz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica