Suradnik10: Zamjena teksta - '{{(.)ommons(.*)}}' u ''

2026-03-10T05:10:21Z

Zamjena teksta - '{{(.)ommons(.*)}}' u ''

←Starija inačica		Inačica od 10. ožujak 2026. u 05:10
Redak 57:		Redak 57:

	== Vidi još ==		== Vidi još ==
	~~{{commons\|Mandelbrot set}}~~
	*[[Fraktali]]		*[[Fraktali]]
	*[[Julijin skup]]		*[[Julijin skup]]

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T04:19:16Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|mini|350px|Mandelbrotov skup]]
'''Mandelbrotov skup''' je [[skup]] točaka ''c'' [[kompleksni broj|kompleksne ravnine]] za koje je [[Julijin skup]] (u užem smislu) [[Julijin_skup#Povezanost|povezan]]. Dobio je ime po [[Francuska|francusko]]-[[Sjedinjene Američke Države|američkom]] [[:kategorija:Matematičari|matematičaru]] [[Benoît Mandelbrot|Benoîtu Mandelbrotu]].

== Konstrukcija ==
[[Datoteka:Mandelbrot and Julia.png|mini|200px|Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrijednost ''c'' odgovara koordinati kompleksne ravnine na kojoj se nalazi središte svakog od njih.]]
U [[Julijin skup]] (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji [[kompleksni broj]] ''c''. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve ''c'' pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

== Svojstva ==
=== Osnovna ===
[[Datoteka:Mandelset hires.png|mini|200px|Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravnini]]
Mandelbrotov je skup [[zatvoren skup]] kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) [[krug]]a [[polumjer]]a 2 sa središtem u [[ishodište|ishodištu]]. Štoviše, točka ''c'' pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi <math>|f^n_c(0)|\leq 2</math> za sve <math>n\geq 0</math>. Drugim riječima, ako je [[apsolutna vrijednost broja|apsolutna vrijednost]] <math>f^n_c(0)</math> za neki <math>n\geq 0</math> veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). [[Presjek skupova|Presjek]] Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje [[interval (matematika)|interval]] [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako <math>\sqrt{6\pi -1} - e = 1.506591651 \ldots</math>

=== Samosličnost ===
Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi [[Fraktali#Podjela|Podjela fraktala]]) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u [[Mandelbrotov_skup#Atraktori_perioda-n|podnaslovu ispod]], slika desno).

[[Datoteka:Mandelzoom.jpg]]

=== Atraktori perioda-''n'' ===
[[Datoteka:Mandelbrot bulbs.jpg|mini|200px|Skupovi točaka konvergiraju onom broju vrijednosti kojim su označene.]]

Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara [[atraktor]] perioda-1 (vidi [[Bifurkacijski dijagram|Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe]]). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, <math>n\in \mathbb{N}</math>. Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-''n'' ako iz njih "viri" ''n''-1 "antena":

[[Datoteka:Mandel rays.jpg]]

=== Galerija uvećavanja ===
Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo [[geometrija|geometrijskih]] struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 [[milijun]]a [[kilometar]]a.

{| class="wikitable" cellpadding=5
|-
|[[Datoteka:mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|140px]] početak
|[[Datoteka:mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|140px]] 1. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|140px]] 2. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 03 seehorse.jpg|140px]] 3. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|140px]] 4. korak
|-
|[[Datoteka:mandel zoom 05 tail part.jpg|140px]] 5. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 06 double hook.jpg|140px]] 6. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 07 satellite.jpg|140px]] 7. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|140px]] 8. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|140px]] 9. korak
|-
|[[Datoteka:mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|140px]] 10. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|140px]] 11. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|140px]] 12. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|140px]] 13. korak
|[[Datoteka:mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|140px]] 14. korak
|}

== Varijacije ==
[[Datoteka:Mandelbrot3 4.jpg|mini|200px|''multibrot'' skupovi trećeg i četvrtog stupnja]]
Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije <math>f(z_{n-1})=z_n^b+c, b>2</math>. Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

== Vidi još ==
{{commons|Mandelbrot set}}
*[[Fraktali]]
*[[Julijin skup]]
*[[Gorući brod (fraktal)]]

== Vanjske poveznice ==
*[http://mandelbrotov-skup.sellit.pl/ "Mandelbrot set - The most advanced online generator"]

[[Kategorija:Fraktali]]

Mandelbrotov skup - Povijest promjena

Suradnik10: Zamjena teksta - '{{(.)ommons(.*)}}' u ''

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica