WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-29T02:25:09Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[matematika|matematici]], '''kvaternioni''' su algebarsko proširenje [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]]. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri [[Imaginarna jedinica|imaginarne jedinice]], koje se označavaju sa ''i'', ''j'' i ''k'' i za koje vrijedi:
:<math>\ i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>
Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.

Za razliku od kompleksnih i [[realni broj|realnih]] brojeva, [[množenje]] kvaterniona nije [[komutativnost|komutativno]] i vrijedi:
:<math>\ ij=-ji=k</math>
:<math>\ jk=-kj=i</math>
:<math>\ ki=-ik=j</math>
Skup kvaterniona se označava sa <math>\mathbb{H}</math> u čast [[irska|irskom]] [[matematičar]]u [[William Rowan Hamilton|Williamu Rowanu Hamiltonu]], koji ih je prvi formulirao.

== Definicija ==
U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.

Kvaternion <math>q = a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math>, sastoji se od [[Skalar|skalarnog]] dijela ''a'' i [[Vektor|vektorskog]] dijela (kvaternion <math> b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math>).

=== Prostorne matematičke operacije ===

==== Konjugacija ====
'''Konjugacija''' je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original <math>q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}</math>, konjugat '''''q*''''' znosi <math> q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}</math>. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa [[Kompleksni broj|kompleksnim brojevima]]:
:<math>q^* = - \frac{1}{2} (q + \,\mathbf i \,q \,\mathbf i + \,\mathbf j \,q \,\mathbf j + \,\mathbf k \,q \,\mathbf k)~.</math>
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje [[Skalar|skalarnog]] i [[Vektor|vektorskog]] dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom <math>\frac{1}{2}(p+p^*)</math> dok je vektorski dio jednak <math>\frac{1}{2}(p-p^*)</math>.
==== Modul ili norma ====
Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se '''modulom''' ili '''normom kvaterniona'''. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:

<math>\|q\| = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>

==== Jedinični kvaternion ====
'''Jedinični kvaternion''' je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i '''[[Verzor|verzorom]]''' tog kvaterniona:

<math>U_q = \frac{q}{\|q\|}</math>

[[Polarne koordinate]] kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: <math>q=\|q\| \cdot U_q</math>.

Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme:

<math>q^{-1}=\frac{q^*}{\|q\|}</math>

{{mrva-mat}}

[[Kategorija:Kompleksni brojevi]]
[[Kategorija:Algebra]]

Kvaternion - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica