Interpolacija - Povijest promjena

WikiSysop: brisanje nepotrebnog teksta

2022-03-09T05:15:36Z

brisanje nepotrebnog teksta

←Starija inačica		Inačica od 9. ožujak 2022. u 05:15
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Interpolacija'''-->~~:''Za ostala značenja vidi [[Interpolacija (razdvojba)]].''		:''Za ostala značenja vidi [[Interpolacija (razdvojba)]].''

	'''Interpolacija''' u [[matematika\|matematičkom]] polju [[numerička matematika\|numeričke matematike]] označava metodu konstrukcije novih točaka podataka unutar raspona [[diskretni skup\|diskretnog skupa]] poznatih točaka podataka.		'''Interpolacija''' u [[matematika\|matematičkom]] polju [[numerička matematika\|numeričke matematike]] označava metodu konstrukcije novih točaka podataka unutar raspona [[diskretni skup\|diskretnog skupa]] poznatih točaka podataka.
Redak 9:		Redak 9:
	Treba napomenuti kako postoji druga potpuno različita vrsta interpolacije u matematici koja se naziva "[[interpolacija operatora]]". Klasičan rezultat oko interpolacije operatora jesu [[Riesz-Thorinov teorem]] i [[Marcinkiewiczov teorem]]. Također postoje mnogi naknadni rezultati.		Treba napomenuti kako postoji druga potpuno različita vrsta interpolacije u matematici koja se naziva "[[interpolacija operatora]]". Klasičan rezultat oko interpolacije operatora jesu [[Riesz-Thorinov teorem]] i [[Marcinkiewiczov teorem]]. Također postoje mnogi naknadni rezultati.

	<!--[[Slika:Splined epitrochoid.png\|300px\|thumb\|Interpolacija konačnog skupa točaka na [[epitrohoida\|epitrohoidi]]. Točke kroz koje krivulja čini ''[[spline]]'' prikazane su crveno; plava krivulja koja ih spaja je interpolacija.]]-->

	==Definicija==		==Definicija==
Redak 88:		Redak 88:
	Uzmimo opet u obzir gore dan problem. Sljedeći polinom šestog stupnja prolazi kroz svih sedam točaka:		Uzmimo opet u obzir gore dan problem. Sljedeći polinom šestog stupnja prolazi kroz svih sedam točaka:
	:<math> f(x) = - 0,0001521 x^6 - 0,003130 x^5 + 0,07321 x^4 - 0,3577 x^3 + 0,2255 x^2 + 0,9038 x.</math>		:<math> f(x) = - 0,0001521 x^6 - 0,003130 x^5 + 0,07321 x^4 - 0,3577 x^3 + 0,2255 x^2 + 0,9038 x.</math>
	~~<!-- Koeficijenti su 0, 0,903803333333334, 0,22549749999997, -0,35772291666664, 0,07321458333332, -0,00313041666667, -0,00015208333333. -->~~
	Zamjenivši ''x'' = 2,5, dobivamo da je ''f''(2.5) = 0,5965.		Zamjenivši ''x'' = 2,5, dobivamo da je ''f''(2.5) = 0,5965.

WikiSysop: Bot: Automatska zamjena teksta (-{{Commonscat(.*?)}} +)

2021-11-19T03:12:01Z

Bot: Automatska zamjena teksta (-{{Commonscat(.*?)}} +)

←Starija inačica		Inačica od 19. studeni 2021. u 03:12
Redak 138:		Redak 138:

	==Vanjske poveznice==		==Vanjske poveznice==
	~~{{Commonscat\|Interpolation\|interpolacija}}~~
	* [http://gaussianprocesses.com GaussianProcesses.com]: Teorija i primjene Gaussovih procesa		* [http://gaussianprocesses.com GaussianProcesses.com]: Teorija i primjene Gaussovih procesa
	* [http://www.dr-mikes-maths.com/DotPlacer.html DotPlacer applet ]: ''Applet'' koji prikazuje različite interpolacijske metode s pomičnim točkama		* [http://www.dr-mikes-maths.com/DotPlacer.html DotPlacer applet ]: ''Applet'' koji prikazuje različite interpolacijske metode s pomičnim točkama

	[[Kategorija:Matematika]]		[[Kategorija:Matematika]]

WikiSysop: Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

2021-11-17T03:31:21Z

Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

←Starija inačica		Inačica od 17. studeni 2021. u 03:31
Redak 134:		Redak 134:
	==Referencije==		==Referencije==
	* David Kidner, Mark Dorey and Derek Smith (1999). ''[https://web.archive.org/web/20051024202307/http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm What's the point? Interpolation and extrapolation with a regular grid DEM].'' IV International Conference on GeoComputation, Fredericksburg, VA, USA.		* David Kidner, Mark Dorey and Derek Smith (1999). ''[https://web.archive.org/web/20051024202307/http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm What's the point? Interpolation and extrapolation with a regular grid DEM].'' IV International Conference on GeoComputation, Fredericksburg, VA, USA.
	* {{~~cite book~~ \| first = David \| last = Kincaid \| coauthors = Ward Cheney \| year = 2002 \| title = Numerical Analysis (3rd edition) \| publisher = Brooks/Cole \| isbn = 0-534-38905-8}} Chapter 6.		* {{Citiranje knjige \| first = David \| last = Kincaid \| coauthors = Ward Cheney \| year = 2002 \| title = Numerical Analysis (3rd edition) \| publisher = Brooks/Cole \| isbn = 0-534-38905-8}} Chapter 6.
	* {{~~cite book~~ \| first = Michelle \| last = Schatzman \| year = 2002 \| title = Numerical Analysis: A Mathematical Introduction \| publisher = Clarendon Press, Oxford \| isbn = 0-19-850279-6}} Chapters 4 and 6.		* {{Citiranje knjige \| first = Michelle \| last = Schatzman \| year = 2002 \| title = Numerical Analysis: A Mathematical Introduction \| publisher = Clarendon Press, Oxford \| isbn = 0-19-850279-6}} Chapters 4 and 6.

	==Vanjske poveznice==		==Vanjske poveznice==

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-08T00:00:50Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

:''Za ostala značenja vidi [[Interpolacija (razdvojba)]].''

'''Interpolacija''' u [[matematika|matematičkom]] polju [[numerička matematika|numeričke matematike]] označava metodu konstrukcije novih točaka podataka unutar raspona [[diskretni skup|diskretnog skupa]] poznatih točaka podataka.

U [[inženjerstvo|inženjerstvu]] i [[znanost]]i interpolacija često ima mnogo točaka podataka prikupljenih [[uzorkovanje]]m ili [[eksperimentacija|eksperimentiranjem]], te se njome pokušava konstruirati funkcija koja približno odgovara tim točkama podataka. To se naziva [[prilagodba krivulje]] ili [[regresijska analiza]]. Interpolacija je specifični slučaj prilagodbe krivulje u kojem funkcija mora točno prolaziti točkama podataka.

Drugi problem koji je blisko povezan s interpolacijom je aproksimacija složene funkcije jednostavnom funkcijom. Ako pretpostavimo da znamo funkciju koja je previše složena za učinkovitu procjenu, onda bismo mogli izabrati nekoliko poznatih točaka podataka iz složene funkcije, zatim izraditi [[pregledna tablica|preglednu tablicu]] i pokušati interpolirati te točke podataka radi konstrukcije jednostavnije funkcije. Naravno, kada koristimo jednostavnu funkciju za izračun novih točaka podataka obično ne dobivamo isti rezultat kada bismo koristili originalnu funkciju, već se ovisno o problemskoj domeni i interpolacijskoj metodi korištenoj za dobivanje jednostavnosti pojavljuje pogreška.

Treba napomenuti kako postoji druga potpuno različita vrsta interpolacije u matematici koja se naziva "[[interpolacija operatora]]". Klasičan rezultat oko interpolacije operatora jesu [[Riesz-Thorinov teorem]] i [[Marcinkiewiczov teorem]]. Također postoje mnogi naknadni rezultati.



==Definicija==
Interpolacija dolazi od riječi ''inter'' između i ''polos'' os, osovina, odnosno točka, čvor. Svako izračunavanje nove točke između dviju ili više postojećih točaka podataka je interpolacija.

Postoje mnoge metode interpolacije od kojih mnoge uključuju prilagođavanje nekakve vrste funkcije podatcima i zatim procjenu vrijednosti te funkcije na željenoj točki. Ovo ne isključuje ostale načine poput statističkih metoda izračuna interpoliranih podataka.

Jedan od najjednostavnijih oblika interpolacije je izračun [[aritmetička sredina|aritmetičke sredine]] iz vrijednosti dviju susjednih točaka kako bi se odredila točka u njihovoj sredini. Isti se rezultat dobiva određivanjem vrijednosti linearne funkcije u srednjoj točki.

Danom [[niz]]u od ''n'' ''različitih'' brojeva ''x''''k'' koje nazivamo '''čvorovi''' tako da za svaki ''x''''k'' postoji drugi broj ''y''''k'', naći ćemo funkciju ''f'' za koju vrijedi

:<math>f(x_k) = y_k \mbox{ , } k=1,\ldots,n</math>

Par ''x''''k'',''y''''k'' naziva se '''točka podataka''', a ''f'' se naziva '''interpolant''' za te točke podataka.

Kada su brojevi ''y''''k'' dani poznatom funkcijom ''f'', onda se ponekad piše ''f''''k''.

==Primjer==
Za primjer pretpostavimo da imamo tablicu nalik ovoj u kojoj su navedene vrijednosti nepoznate funkcije ''f''.
[[Slika:Interpolation Data.svg|right|thumb|230px|Prikaz točaka podataka danih u tablici.]]
{| cellpadding=0 cellspacing=0
|width="20px"|
! ''x''
|width="10px"|
!colspan=3 align=center| ''f''(''x'')
|-
| || 0 || ||align=right| 0
|-
| || 1 || ||align=right| 0 || , || 8415
|-
| || 2 || ||align=right| 0 || , || 9093
|-
| || 3 || ||align=right| 0 || , ||1411
|-
| || 4 || ||align=right| −0 || , || 7568
|-
| || 5 || ||align=right| −0 || , || 9589
|-
| || 6 || ||align=right| −0 || , || 2794
|}
Interpolacija osigurava način procjenjivanja funkcije na međutočkama, npr. ako ''x'' = 2,5.

Postoji mnogo različitih interpolacijskih metoda od kojih su neke opisane ispod. Neka pitanja koja se javljaju kod izbora prikladnog [[algoritam|algoritma]] jesu: Koliko je metoda pouzdana? Koliko je ona točna? Koliko je interpolant [[glatka funkcija|gladak]]? Koliko je potrebno točaka podataka?
<div style="clear:both;"></div>

==Lokalna konstantna interpolacija==
[[Slika:Piecewise constant.svg|thumb|right|Lokalna konstantna interpolacija ili [[proksimalna interpolacija]].]]
:''Za više detalja o ovoj temi vidi [[proksimalna interpolacija]].''

Najjednostavnija interpolacijska metoda je lociranje najbliže vrijednosti podataka i pridruživanje iste vrijednosti. Kod jedne dimenzije rijetki su dobri razlozi za izbor ove vrste interpolacije umjesto linearne koja je gotovo jeftina, no kod viših dimenzija, u [[multivarijatna interpolacija|multivarijatnoj interpolaciji]], proksimalna interpolacija je prikladan izbor zbog svoje brzine i jednostavnosti.

==Po dijelovima linearna interpolacija==
[[Slika:Interpolation example linear.svg|right|thumb|230px|Prikaz podataka s nadodanom linearnom interpolacijom]]
:''Glavni članak: [[linearna interpolacija]]''

Jedna od najjednostavnijih metoda je po dijelovima [[linearitet|linearna]] interpolacija (ponekad se naziva lerp). Uzmimo u obzir gore spomenuti primjer određivanja ''f''(2,5). Budući da je 2,5 sredina između 2 i 3, razumljivo je uzeti sredinu ''f''(2,5) između ''f''(2) = 0,9093 i ''f''(3) = 0,1411, što daje rezultat od 0,5252.

Linearna interpolacija općenito uzima dvije točke podataka, recimo (''x''''a'',''y''''a'') i (''x''''b'',''y''''b''), pa je interpolant zadan:
:<math> y = y_a + (x-x_a)\frac{(y_b-y_a)}{(x_b-x_a)} </math> na točki (''x'',''y'').

Linearna interpolacija je brza i lagana, no nije odveć precizna. Drugi nedostatak je [[derivacija|nediferencijabilnost]] interpolanta na točki ''x''''k''.

Sljedeća procjena pogreške pokazuje da linearna interpolacija nije odveć precizna. Označimo funkciju koju želimo interpolirati za ''g'', te pretpostavimo da ''x'' leži između ''x''''a'' i ''x''''b'' i da je ''g'' dvostruko kontinuirano diferencijabilan. Tada je pogreška linearne interpolacije
:<math> |f(x)-g(x)| \le C(x_b-x_a)^2 \quad\mbox{gdje je}\quad C = \frac18 \max_{y\in[x_a,x_b]} |g''(y)|. </math>
Zapisano riječima, pogreška je proporcionalna kvadratu udaljenosti između točaka podataka. Pogreška nekih drugih metoda, uključujući polinomnu interpolaciju i spline interpolaciju (opisanu dolje), proporcionalna je većim potencijama udaljenosti između točaka podataka. Ove metode također produciraju glađe interpolante.
<div style="clear:both;"></div>

==Polinomna interpolacija==
[[Slika:Interpolation example polynomial.svg|right|thumb|230px|Prikaz podataka s primijenjenom polinomnom interpolacijom]]
:''Glavni članak: [[polinomna interpolacija]]''

Polinomna interpolacija je generalizacija linearne interpolacije. Primijetite kako je linearni interpolant [[linearna funkcija]]. Sada ovaj interpolant zamjenjujemo [[polinom]]om višeg [[stupanj (matematika)|stupnja]].

Polinom u općem obliku zapisujemo kao f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, dakle kao izraz s ''n+1'' nepoznanicom. Kako bi ih jednoznačno odredili potreban nam je ''n+1'' podatak, odnosno točke interpolacije. Iz toga slijedi da s ''n'' točaka interpolacije (uz zadovoljavanje određenih uvjeta, poput onog da dvije točke koje želimo interpolirati ne smiju imati jednaku ''x''-koordinatu) jednoznačno možemo odrediti polinom stupnja ''n-1'' koji kroz njih prolazi.

Dva su osnovna oblika u kojima se taj intepolacijski polinom može zapisati. Prvi, ''[[Lagrangeov interpolacijski polinom|Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma]]'' vrlo je jednostavno zapisati. No zbog njegovog nestandardnog zapisa, vrednovanje vrijednosti tog polinoma ima visoku složenost, pa se u pravilu ne upotrebljava u praksi. S druge strane, ''[[Newtonov interpolacijski polinom|Newtonov oblik interpolacijskog polinoma]]'' zahtjeva više posla kod računanja njegovih koeficjenata (vrijednosti ai), no standardni zapis omogućava brzo izvrednjavanje nekim od algoritama za izvrednjavanje polinoma, poput [[Hornerov algoritam|Hornerovog algoritma]]. Metoda računanja koeficijenata Newtonovog interpolacijskog polinoma naziva se računanjem ''podijeljenih razlika''.

Uzmimo opet u obzir gore dan problem. Sljedeći polinom šestog stupnja prolazi kroz svih sedam točaka:
:<math> f(x) = - 0,0001521 x^6 - 0,003130 x^5 + 0,07321 x^4 - 0,3577 x^3 + 0,2255 x^2 + 0,9038 x.</math>

Zamjenivši ''x'' = 2,5, dobivamo da je ''f''(2.5) = 0,5965.

Općenito govoreći, ako imamo ''n'' točaka podataka, onda postoji točno jedan polinom najviše ''n''-1 stupnja koji prolazi kroz sve točke podataka. Interpolacijska pogreška je proporcionalna udaljenosti između točaka podataka s potencijom ''n''. štoviše, interpolant je polinom i stoga beskonačno diferencijabilan (iako su sve derivacije nakon konačno mnogo njih identički jednake nuli). Stoga vidimo da polinomna interpolacija rješava sve probleme linearne interpolacije.

Polinomna interpolacija ipak ima neke nedostatke. Računanje interpolirajućeg polinoma računski je zahtjevnije (vidi [[računska složenost]]) u usporedbi s linearnom interpolacijom. Štoviše, polinomna interpolacija ne mora uopće biti točna, posebice na krajnjim točkama (vidi [[Rungeov fenomen]]). Poznati su npr. primjeri velikih odstupanja polinomnih interpolacija kod interpoliranja sporo rastućih ili padajućih funkcija s velikim udaljenostima između čvorova interpolacije. Ovi nedostatci mogu se izbjeći uporabom spline interpolacije.
<div style="clear:both;"></div>

==Spline interpolacija==
[[Slika:Interpolation example spline.svg|right|thumb|230px|Prikaz podataka s primijenjenom spline interpolacijom]]
:''Glavni članak: [[spline interpolacija]]''

Sjetimo se kako po dijelovima linearna interpolacija koristi linearnu funkciju na svakom intervalu [''x''''k'',''x''''k+1'']. Spline interpolacija koristi polinome manjeg stupnja na svakom intervalu i odabire polinomne dijelove tako da skupa glatko pristaju. Rezultirajuća funkcija naziva se [[spline]].

Primjerice, [[prirodni kubični spline]] je [[segmentirana funkcija|segmentno]] kubičan i dvostruko kontinuirano diferencijabilan. Štoviše, njegova druga derivacija je nula na krajnjim točkama. Prirodni kubični spline koji interpolira točke na gornjoj tablici dan je izrazom
:<math> f(x) = \left\{ \begin{matrix}
-0,1522 x^3 + 0,9937 x, & \mbox{ako } x \in [0,1], \\
-0,01258 x^3 - 0,4189 x^2 + 1,4126 x - 0,1396, & \mbox{ako } x \in [1,2], \\
0,1403 x^3 - 1,3359 x^2 + 3,2467 x - 1,3623, & \mbox{ako } x \in [2,3], \\
0,1579 x^3 - 1,4945 x^2 + 3,7225 x - 1,8381, & \mbox{ako } x \in [3,4], \\
0,05375 x^3 - 0,2450 x^2 - 1,2756 x + 4,8259, & \mbox{ako } x \in [4,5], \\
-0,1871 x^3 + 3,3673 x^2 - 19,3370 x + 34,9282, & \mbox{ako } x \in [5,6]. \\
\end{matrix} \right. </math>

U tom slučaju dobivamo ''f''(2,5)=0,5972.

Poput polinomne interpolacije, spline interpolacijom nastaje manja pogreška nego kod linearne interpolacije, a interpolant je glađi. Interpolant je ipak lakši za procjenu od polinoma desetog stupnja korištenog u polinomnoj interpolaciji. Ona također ne pati od [[Rungeov fenomen|Rungeova fenomena]].

==Ostali oblici interpolacije==
Ostali oblici interpolacije mogu se konstruirati odabirom različitog razreda interpolanata. Primjerice, [[racionalna interpolacija]] je '''interpolacija''' [[racionalna funkcija|racionalnim funkcijama]], a [[trigonometrijska interpolacija]] je interpolacija [[trigonometrijski polinom|trigonometrijskim polinomima]]. [[Diskretna Fourierova transformacija]] poseban je slučaj trigonometrijske interpolacije. Druga mogućnost je upotreba [[wavelet]]a.

[[Whittaker–Shannonova interpolacijska formula]] može se koristiti ako je broj točaka podataka beskonačan.

[[Multivarijatna interpolacija]] je interpolacija funkcija s više od jedne varijable. Metode uključuju [[bilinearna interpolacija|bilinearnu interpolaciju]] i [[bikubična interpolacija|bikubičnu interpolaciju]] u dvije dimenzije, te [[trilinearna interpolacija|trilinearnu interpolaciju]] u tri dimenzije.

Ponekad ne samo da znamo vrijednost funkcije koju želimo interpolirati na neke točke nego također i njezinu derivaciju. To dovodi do problema [[Hermiteova interpolacija|Hermiteove interpolacije]].

==Srodni koncepti==
Termin ''[[ekstrapolacija]]'' se koristi kada želimo pronaći točke podataka izvan dometa poznatih točaka podataka.

U problemima [[prilagodba krivulje|prilagođavanja krivulja]] ublaženo je ograničenje da interpolant mora točno prolaziti kroz točke podataka. Jedini zahtjev odnosi se na što je moguće bliži pristup točkama podataka. To zahtijeva određivanje parametara potencijalnih interpolanata i postojanje načina za određivanje pogreške. U najjednostavnijem slučaju to vodi do aproksimacije [[najmanji kvadrati|najmanjih kvadrata]].

[[Teorija aproksimacije]] istražuje način za pronalazak najbolje aproksimacije za danu funkciju drugom funkcijom iz predeterminiranih klasa, te određivanje prikladnosti te aproksimacije. Ovo jasno daje granicu za to koliko dobro interpolant može aproksimirati nepoznatu funkciju.

==Referencije==
* David Kidner, Mark Dorey and Derek Smith (1999). ''[https://web.archive.org/web/20051024202307/http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm What's the point? Interpolation and extrapolation with a regular grid DEM].'' IV International Conference on GeoComputation, Fredericksburg, VA, USA.
* {{cite book | first = David | last = Kincaid | coauthors = Ward Cheney | year = 2002 | title = Numerical Analysis (3rd edition) | publisher = Brooks/Cole | isbn = 0-534-38905-8}} Chapter 6.
* {{cite book | first = Michelle | last = Schatzman | year = 2002 | title = Numerical Analysis: A Mathematical Introduction | publisher = Clarendon Press, Oxford | isbn = 0-19-850279-6}} Chapters 4 and 6.

==Vanjske poveznice==
{{Commonscat|Interpolation|interpolacija}}
* [http://gaussianprocesses.com GaussianProcesses.com]: Teorija i primjene Gaussovih procesa
* [http://www.dr-mikes-maths.com/DotPlacer.html DotPlacer applet ]: ''Applet'' koji prikazuje različite interpolacijske metode s pomičnim točkama

[[Kategorija:Matematika]]