WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-21T07:53:28Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Funkcija''' ili '''preslikavanje''' je jedan od najvažnijih [[matematika|matematičkih]] pojmova koji predstavlja preslikavanje [[član (matematika)|članova]] jednog [[skup]]a ([[Domena (matematika)|domena]]) u drugi ([[kodomena]]).<ref>{{Citiranje knjige|title=Elementarna matematika I|author=Zvonimir Bujanović|coauthors=Boris Muha|date=2018|url=https://web.archive.org/web/20191219215513/https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/em/EM1/materijali/em1-skripta.pdf|format=PDF|publisher=Prirodoslovno-matematički fakultet|location=Zagreb}}</ref> Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

== Definicija ==
'''Funkcija''' ili '''preslikavanje''' je uređena trojka <math>(D, K, f)</math> koja sadrži skupove <math>D</math>, <math>K</math> i neko pravilo <math>f\colon D \to K</math> po kojem se svakom članu <math>x \in D</math> pridružuje jedinstveni član <math>y \in K</math> tako da je <math>y=f(x)</math>.

Skup <math>D</math> se naziva ''područje definicije'' ili [[domena (matematika)|domena]] funkcije <math>f</math>, a skup <math>K</math> ''područje vrijednosti'' ili [[kodomena]] funkcije <math>f</math>. Član domene <math>x</math> je ''nezavisna varijabla'' ili ''argument'' funkcije <math>f</math>, a član kodomene <math>y</math> je ''zavisna varijabla'' funkcije <math>f</math>.

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo <math>f\colon D \to K</math>.
Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo <math>x \mapsto y=f(x)</math>.

== Jednakost funkcija ==
Funkcije <math>f</math> i <math>g</math> su ''jednake'', što zapisujemo sa <math>f=g</math>, ako vrijedi:
# imaju jednake domene, tj. <math>D_f = D_g</math>;
# imaju jednako pravilo preslikavanja tj. <math>f(x) = g(x), \forall x \in A</math>.

Na primjer, funkcije <math>f(x) = \frac{x^2}{x}</math> i <math>g(x) = x</math> nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, jer, kada se kod <math>f(x)</math> skrati [[razlomak]], dobijemo <math>f(x) = x</math>. 
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija <math>f(x)</math> nema vrijednost za <math>x = 0</math>. [[Dijeljenje]] s [[nula|nulom]] nije definirano, pa je domena <math>D_f = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}</math>, skup [[realni broj|realnih brojeva]] bez nule. Domena <math>D_g = \mathbb{R}</math>, čitav skup realnih brojeva.

== Klasifikacija funkcija ==
Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su [[Injektivna funkcija|injektivnost]], [[Surjektivna funkcija|surjektivnost]] i [[Bijekcija|bijektivnost]].

'''Injekcija''' ili ''1-1 preslikavanje'' je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna. 
Matematički zapisujemo, <math>f(x) = f(x') \Rightarrow x = x',\forall x \in D_f ,\forall x' \in D_f</math> 
ili ekvivalentnu tvrdnju <math>\forall x,x'\in D \mbox{ takve da } x \ne x', f(x) \ne f(x')</math>.

'''Slika funkcije''' ''f'' je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene.
Sliku funkcije ''f'' označavamo s <math> R_f</math>.

'''Surjekcija''' ili ''preslikavanje na'' je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni <math>R_f = K</math>. 
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku. 
Matematički zapis: <math>\forall y \in K \; \exists x \in D, f(x)=y</math>. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

'''Bijekcija''' ili ''1 na 1 korespondencija'' ili ''obostrano jednoznačno preslikavanje'' je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je ''[[funkcija identiteta]]'', odnosno funkcija <math>i_X :X
\to X</math> definirana s <math>i_X(x) = x,\forall x \in X</math>.

== Graf funkcije ==
[[Datoteka:Quadratic function.svg|mini|Graf funkcije <math>f(x) = x^2</math>]]
[[Graf funkcije]] <math>f</math> jest skup točaka <math>(x,y)</math> [[ravnina|ravnine]] <math>\mathbb{R}^2</math> za koje vrijedi <math>y=f(x)</math> te čine [[krivulja|krivulju]]. Formalnije, to je skup <math>G(f) \subseteq \mathbb{R}^2, G(f) = \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in D_f , y=f(x)\big\}</math>.

{{-}}

== Vidi još ==
* [[Funkcija identiteta]]
* [[Konstanta|Konstantna funkcija]]
* [[Nulfunkcija]]
* [[Linearna funkcija]]
* [[Kvadratna funkcija]]
* [[Kubna funkcija]]
* [[Polinomna funkcija]]
* [[Eksponencijalna funkcija]]
* [[Trigonometrija|Trigonometrijske funkcije]]

== Izvori ==
{{Izvori}}
[[Kategorija:Matematika]]

Funkcija (matematika) - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica