WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-11T22:47:59Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Fermatov zadatak''' je jedan od povijesno prvih problema u [[Diferencijalni račun|diferencijalnom računu]], a datira između [[1630.]] i [[1640.]] godine. Zanimljivo je da je to prvi zabilježeni [[Pierre de Fermat|Fermatov]] problem pronalaženja ekstrema, u ovom slučaju maksimuma [[Funkcija|funkcije]].

Fermatovo rješenje pokazuje da nije imao formalno znanje [[limes]]a te se u tom računu, unatoč lukavom triku, može naći [[Logika|logička]] greška koja je ispravljena pojavom modernog infinitezimalnog računa.<ref> http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc2.html </ref>

Problem nalaže da [[Dužina|dužinu]] <math> AC </math> treba podijeliti [[Točka|točkom]] <math> B </math> na dva dijela tako da vrijednost umnoška <math>|AB| \cdot |BC|</math> bude maksimalna.

== Rješenje ==
Neka je <math>|AB| = x, |AC| = a.</math> Dakle, zapravo treba naći maksimum funkcije <math>f(x) = x(a - x),</math> tj. <math>f(x) = - x^2 + ax.</math>

Argument za koji se maksimum od <math>f</math> postiže ćemo naći tako da izračunamo prvu derivaciju i izjednačimo je s nulom. Dobivamo <math>f'(x) = - 2x + a.</math> Sada izjednačimo <math>f'(x) = 0</math> i dobivamo <math>x = \frac{a}{2}.</math><ref>Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 4, udžbenik matematike za 4. razred prirodoslovno-matematičke gimnazije, Element, Zagreb, 2015.</ref>

Prema tome, točka <math> B </math> zapravo je [[polovište]] dužine <math>AC.</math>

Isti smo rezultat još lakše mogli dobiti stavljajući <math> a = 1 </math> ili pak računajući vrijednost argumenta [[Kvadratna funkcija|kvadratne funkcije]] za koji se postiže njen maksimum bez [[derivacija]], dakle [[François Viète|Viétovim]] formulama. Taj argument jednak je [[Apscisa|apscisi]] [[Parabola|tjemena]] [[Parabola|parabole]].<ref>Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 2, udžbenik matematike za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.</ref>

== Fermatova metoda ==
Fermat je postupio na sljedeći način. Uveo je veličinu <math>E \geq 0</math> i spretno zaključio da će, zbog toga što postoji točno jedna vrijednost maksimuma, njegove vrijednosti za <math> x, x + E </math> biti jednake pa je načinio sljedeću jednadžbu <math> x(a - x) = (x + E)(a - x - E) </math> te dobio <math> E^2 + Ea - 2xE = 0,</math> tj. <math>E(E + a - 2x) = 0.</math> Sada je obje strane jednadžbe podijelio s <math>E</math> i dobio <math>E + a = 2x.</math> Odavde je zaključio da mora biti <math>E = 0</math> i dobio ispravno rješenje <math>x = \frac{a}{2}.</math>

No, počinio je grešku u računu, a to je što je stavio <math>E = 0</math>, a u koraku prije je jednadžbu podijelio s <math>E</math>, iako je poznato da se nulom ''ne smije'' dijeliti. Račun bi bio ispravan da je Fermat pisao da ''E teži u nulu'' umjesto da je ''E jednak nuli'', odnosno <math>E \rightarrow 0 </math> umjesto <math>E = 0.</math>

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Fermatov zadatak - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica