WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-16T01:05:53Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Eulerova formula''', nazvana prema [[Leonhard Euler|Leonhardu Euleru]], prikazuje u području analize [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]] duboku povezanost [[trigonometrijska funkcija|trigonometrijskih funkcija]] s kompleksnim [[eksponencijalna funkcija|eksponencijalnim funkcijama]]. Eulerova formula ustanovljava da je za svaki [[realni broj]]  ''x'',
: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \!</math>

gdje je ''e'' matematička konstanta i baza prirodnih [[logaritam]]a, ''i'' imaginarna jedinica, a sin i cos trigonometrijske funkcije s argumentom ''x'' datim u [[radijan]]ima. Eulerova formula vrijedi i ako je ''x'' kompleksni broj te se ponekad ova formula navodi i u njezinom općenitijem, kompleksnom obliku. Ova formula prema nekim autorima smatra se jednom od “najizuzetnijih formula na području cijele matematike”.

Njezin se dokaz može naći u objašnjenju [[Eulerov identitet|Eulerovog identiteta]].

== Povijest ==
Bernoulli je 1702. godine zapisao da je
:<math>\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2} \left(\frac{dx}{1-ix}+\frac{dx}{1+ix} \right).</math>

te da je
: <math>\int \frac{dx}{1+x}=\ln(1+x),</math>

Gore navedene jednakosti daju nam određeni uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je [[Roger Cotes]] 1714. godine otkrio da je
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>

Međutim, Cotes nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Upravo je Euler, negdje oko 1740. godine, obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>

je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih [[red (matematika)|redova]] obiju strana izvoda. Nitko, međutim, u to doba nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predočene u kompleksnoj ravnini. Tu vezu je tek nekih pedesetak godina kasnije ustanovio [[Caspar Wessel]].

== Primjene u teoriji kompleksnih brojeva ==
[[Datoteka:Euler's formula.svg|200px|desno]]
Eulerova formula može se predočiti na način da funkcija ''e''<sup>''ix''</sup> rotira oko ishodišta kompleksne ravnine tijekom čega ''x'' poprima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu ''x'' je kut što ga čini dužina, koja spaja ishodište koordinatnog sustava u kompleksnoj ravnini s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, s pozitivnom realnom osi. Pri tome dužina, u osnovi vektor u kompleksnoj ravnini, rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina kuta iskazuje se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju ''e''<sup>''z''</sup> te periodičke funkcije sin ''x'' i cos ''x'', gdje je ''z'' kompleksni broj, a ''x'' realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i ako je ''x'' bilo koji kompleksan broj.

Eulerova formula na jednostavan način omogućava prijelaz iz prikaza kompleksnog broja u [[Kartezijeve koordinate|kartezijanskim koordinatama]] u prikaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama bitno pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, na primjer, množenje i potenciranje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj ''z'' = ''x'' + ''iy'' može zapisati kao
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,</math>

gdje je
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> realni dio
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> imaginarni dio
:<math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> apsolutna vrijednost ili veličina od ''z''
:<math>\phi = \,</math> arctan(''y'', ''x'') zadan u radijanima.

== Povezanost s trigonometrijom ==
Eulerova formula iskazuje snažnu povezanost između [[matematička analiza|matematičke analize]] i [[trigonometrija|trigonometrije]] te omogućuje prikaz sin i cos funkcije u odgovarajućem obliku eksponencijalnih funkcija.
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>

Gornje jednadžbe mogu se izvesti zbrajajući ili oduzimajući Eulerove formule
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>
: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>

i rješavajući ih po sin ili cos funkciji. Ove formule mogu čak poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta ''x''. Naime, stavimo li
''x'' = ''iy'', nalazimo da je
:<math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>
:<math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y). </math>

Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodičke funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalnom funkcijom. Na primjer
: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}
</math>

== Druge primjene ==
U [[elektrotehnika|elektrotehnici]] i drugim područjima, električni signali, odn. veličine koje se periodički mijenjaju s vremenom često se opisuju kao kombinacije sinusnih i kosinusnih funkcija ([[Fourierova analiza]]) te se kao takve izražavaju u obliku eksponencijalnih funkcija s imaginarnim eksponentima, koristeći upravo Eulerovu formulu. Štoviše, analiza [[električne mreže|električnih krugova i mreža]] može uključiti upravo Eulerovu formulu i njezine derivate u svrhu prikaza faznih i amplitudnih odnosa struje i napona.

[[Kategorija:Matematička analiza]]
[[Kategorija:Kompleksni brojevi]]

Eulerova formula - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica