WikiSysop: bnz

2022-05-08T16:14:52Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 8. svibanj 2022. u 16:14
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Cijeli broj'''-->~~Skup cijelih brojeva je proširenje skupa [[Prirodni broj\|prirodnih brojeva]] sa elementima koji su njima suprotni i sa neutralnim elementom pri zbrajanju: nule.		Skup cijelih brojeva je proširenje skupa [[Prirodni broj\|prirodnih brojeva]] sa elementima koji su njima suprotni i sa neutralnim elementom pri zbrajanju: nule.

	Skup [[Prirodni broj\|prirodnih brojeva]] <math>\mathbb{N}</math> ne čini [[Grupa (matematika)\|grupu]] s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1} \in \mathbb{N}</math>. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math> gdje su <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> sa takvim inverzima [[Prirodni broj\|prirodnih brojeva]] i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo takva aditivna grupa:		Skup [[Prirodni broj\|prirodnih brojeva]] <math>\mathbb{N}</math> ne čini [[Grupa (matematika)\|grupu]] s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1} \in \mathbb{N}</math>. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math> gdje su <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> sa takvim inverzima [[Prirodni broj\|prirodnih brojeva]] i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo takva aditivna grupa:

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-21T03:56:44Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

Skup cijelih brojeva je proširenje skupa [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] sa elementima koji su njima suprotni i sa neutralnim elementom pri zbrajanju: nule.

Skup [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] <math>\mathbb{N}</math> ne čini [[Grupa (matematika)|grupu]] s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element <math>n \in \mathbb{N}</math> ne postoji njemu inverzan element <math>n^{-1} \in \mathbb{N}</math>. Da bismo odredili svaku razliku <math>a - b</math> gdje su <math>a,b \in \mathbb{N}</math> koju definiramo sa <math>a + (-b)</math>, gdje je sa <math>-b</math> označen inverzni element od <math>b \in \mathbb{N}</math>, proširujemo skup <math>\mathbb{N}</math> sa takvim inverzima [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup '''cijelih brojeva''' <math>\mathbb{Z}</math> je upravo takva aditivna grupa:

<math>\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1 \} \cup \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0, -1, 1, -2, 2, ... \}</math>

Kažemo da je skup cijelih brojeva unija negativnih cijelih brojeva, neutralnog elementa za zbrajanje i prirodnih brojeva. Prema tome, skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva, što se piše kao <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}</math>.<ref>Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: ''Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije)'', Element, Zagreb, 1996. (str. 3)</ref>

Element 0 sa svojstvom da je <math>a + 0 = 0 + a = a, \forall a \in \mathbb{Z}</math> nazivamo '''nulom''', a inverze [[Prirodni broj|prirodnih brojeva]] u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima prirodnih brojeva ili negativnim cijelim brojevima. Vrijedi <math>a + (-a) = (-a) + a = 0, \forall a \in \mathbb{Z}</math>, pošto je i asocijativnost zadovoljena kažemo da je skup cijelih brojeva aditivna grupa.

No, skup cijelih brojeva <math>\mathbb{Z}</math> čini također i komutativni [[Prsten (matematika)|prsten]] zajedno sa operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da <math>0 \cdot x = a</math> nema rješenje u samom, i niti jednom, prstenu. Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. Nema najvećeg (maksimalnog) niti najmanjeg (minimalnog) elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva (tj. postoji [[bijekcija]] sa <math>\mathbb{N}</math> u <math>\mathbb{Z}</math>).

== Izvori ==

[[Kategorija:Brojevi]]

Cijeli broj - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica