WikiSysop: bnz

2022-05-07T15:16:50Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 7. svibanj 2022. u 15:16
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Cassinijev identitet'''-->~~'''Cassinijev identitet''' je jednakost u [[Teorija brojeva\|elementarnoj teoriji brojeva]] koja povezuje uzastopnu trojku [[Fibonaccijev niz\|Fibonaccijevog niza]].		'''Cassinijev identitet''' je jednakost u [[Teorija brojeva\|elementarnoj teoriji brojeva]] koja povezuje uzastopnu trojku [[Fibonaccijev niz\|Fibonaccijevog niza]].

	Identitet je [[1680.]] otkrio poznati [[Italija\|talijanski]] [[Matematika\|matematičar]] [[Giovanni Domenico Cassini]] ([[1635.]] – [[1712.]]), a dokazao ga je [[Škotska\|škotski]] matematičar Robert Simson ([[1687.]] – [[1768.]]) i to [[1753.]] godine.		Identitet je [[1680.]] otkrio poznati [[Italija\|talijanski]] [[Matematika\|matematičar]] [[Giovanni Domenico Cassini]] ([[1635.]] – [[1712.]]), a dokazao ga je [[Škotska\|škotski]] matematičar Robert Simson ([[1687.]] – [[1768.]]) i to [[1753.]] godine.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-12-11T22:52:10Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Cassinijev identitet''' je jednakost u [[Teorija brojeva|elementarnoj teoriji brojeva]] koja povezuje uzastopnu trojku [[Fibonaccijev niz|Fibonaccijevog niza]].

Identitet je [[1680.]] otkrio poznati [[Italija|talijanski]] [[Matematika|matematičar]] [[Giovanni Domenico Cassini]] ([[1635.]] – [[1712.]]), a dokazao ga je [[Škotska|škotski]] matematičar Robert Simson ([[1687.]] – [[1768.]]) i to [[1753.]] godine.

Podsjetimo se da Fibonaccijev niz glasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... U tom je nizu svaki član, počevši od trećeg, [[suma]] svoja dva neposredna prethodnika. Dakle, vrijedi <math>F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1}, n \geq 2.</math>

Cassinijev identitet tvrdi:
:<math>F_{n + 1}F_{n - 1} = F_nF_n + (- 1)^n, n \geq 2.</math><ref>http://e.math.hr/category/klju-ne-rije-i/fibonaccievi-brojevi</ref>

Ono što se uočava prvo je da vrijedi <math>F_{n + 1} > F_n, F_{n -1} < F_n</math> pa vidimo da Cassinijev identitet opisuje svojevrsnu "ravnotežu" među ova dva umnoška. Ipak, nije odmah očito da se <math>F_{n + 1}F_{n - 1}, F_nF_n</math> razlikuju točno za ''1'' pa ćemo ovaj [[teorem]] ispod i dokazati.

== Dokaz ==
Ovaj se identitet lako može dokazati metodom [[Aksiom matematičke indukcije|matematičke indukcije]] pa ćemo to na ovom mjestu i učiniti.

Vidimo da, u ovisnosti o parnosti broja <math>n</math>, izraz <math>(- 1)^n</math> u formuli redom varira: <math>-1, +1, -1, +1, ...</math>

Provjerimo sada identitet za prvu trojku <math>(1, 1, 2).</math> Zaista, vrijedi <math>2 \cdot 1 = 1 \cdot 1 + 1.</math> Prema tome,
<math>F_{n + 1}F_{n - 1} = F_nF_n - 1</math> (1) vrijedi za barem jedan broj, <math>n = 2.</math>

Sada prijeđimo na iduću trojku te konstruirajmo dva umnoška,
<math>p_1 = F_{n + 2}F_{n + 1} </math> te <math>p_2 = F_{n + 1}F_{n + 1} + 1,</math> dokazat ćemo da su jednaka.

Slijedi niz jednostavnih jednakosti (transformacija): <math>p_1 = (F_n + F_{n + 1})F_n = F_nF_n + F_nF_{n + 1}.</math> Sada koristimo (1): <math>p_1 = F_{n + 1}F_{n - 1} - 1 + F_nF_{n + 1}</math> i konačno dobivamo <math>p_1 = F_{n + 1}(F_{n - 1} + F_n) - 1,</math> odnosno <math>p_1 = F_{n + 1}F_{n + 1} - 1</math> što upravo daje <math>p_2.</math>

Za sada smo dokazali Cassinijev identitet polovično, a barem za dvije trojke: <math>(1, 1, 2)</math> te <math>(1, 2, 3).</math> Dakle, nije očito da iz <math>-1</math> u <math>+1</math> opet ciklički slijedi <math>-1.</math> Ako to dokažemo, postupak će se ciklički ponavljati i bit ćemo gotovi.

Zato uzmimo iduću trojku <math>(F_{n + 3}, F_{n + 1}, F_n).</math> Slično kao i prije, konstruirajmo dva umnoška <math>q_1 = F_{n + 3}F_{n + 1}, q_2 = F_{n + 2}F_{n + 2} + 1.</math> Opet, slijedi niz jednakosti: <math>q_1 = (F_{n + 1} + F_{n + 2})F_{n + 1} = F_{n + 1}F_{n + 1} + F_{n + 1}F_{n + 2}.</math> Sada dobivamo <math>q_2 = F_{n + 2}F_n + 1 + F_{n + 1}F_{n + 2}</math> pa je konačno <math>q_1 = F_{n + 2}(F_{n} + F_{n + 1}) = q_2,</math> što je i trebalo pokazati.

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Cassinijev identitet - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica