WikiSysop: bnz

2022-04-28T10:33:25Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 28. travanj 2022. u 10:33
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Binomni poučak'''-->~~[[Image:Pascal's triangle 5.svg\|right\|thumb\|200px\|[[Binomni koeficijent\|Binomni koeficijenti]] se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.]] U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije [[binom\|binoma]]. Prema tom poučku moguće je (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, gdje su b i c pozitivni [[cijeli brojevi]], i koeficijent ''a'' je specifični pozitivni [[broj]] ovisan o ''n'' i ''b''. Kada je [[eksponent]] jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :		[[Image:Pascal's triangle 5.svg\|right\|thumb\|200px\|[[Binomni koeficijent\|Binomni koeficijenti]] se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.]] U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije [[binom\|binoma]]. Prema tom poučku moguće je (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, gdje su b i c pozitivni [[cijeli brojevi]], i koeficijent ''a'' je specifični pozitivni [[broj]] ovisan o ''n'' i ''b''. Kada je [[eksponent]] jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :

	<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>		<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-10-04T00:04:31Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Image:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|[[Binomni koeficijent|Binomni koeficijenti]] se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.]] U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije [[binom|binoma]]. Prema tom poučku moguće je (''x'' + ''y'')''n'' proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ''ax''''b''''y''''c'', gdje su b i c pozitivni [[cijeli brojevi]], i koeficijent ''a'' je specifični pozitivni [[broj]] ovisan o ''n'' i ''b''. Kada je [[eksponent]] jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :

<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>

Koeficijent ''a'' u izrazu ''ax''''b''''y''''c'' je također poznat kao [[binomni koeficijent]] <math>\tbinom nb</math> ili <math>\tbinom nc</math> (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite ''n'' i ''b'' se mogu složiti u [[Pascalov trokut]]. Ovi se brojevi također pojavljuju u [[kombinatorika|kombinatorici]], gdje <math>\tbinom nb</math> daje broj različitih kombinacija ''b'' elemenata izabranih iz [[skup|skupa]] od ''n'' elemenata.

==Povijest==

Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju [[Blaise Pascal|Blaiseu Pascalu]], koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr [[Euklid| grčki matematičar Euklid]] je znao posebni slučaj binomnog poučka za ''n''=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar [[Pingala]] za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći [[Indukcija|matematičku indukciju]].

==Iskaz poučka==

Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od ''x + y'' u zbroj oblika :

<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>, gdje je <math> \tbinom nk </math> specifični pozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao [[binomna formula]] ili [[binomni identitet]]. Također se može zapisati kao :

<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
</math>

Jedna od varijanti binomne formule se dobiva zamjenom 1 za ''y'', tako da ima samo jednu [[varijabla|varijablu]]. U ovom obliku, formula izgleda ovako :

:<math>(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>

ili ekvivalentno :

:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>

== Dokazi ==
=== Kombinatorni dokaz ===
==== Kub binoma ====

Dokazat ćemo teorem za <math> n = 3,</math> a analogno se dokazuje za bilo koji prirodni broj <math> n. </math>

Želimo izračunati <math> (x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y). </math>

Prema distributivnom pravilu u [[Algebra|algebri]] proširujemo izraz: <math> xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy.</math>

Uočimo da će svaki pribrojnik imati točno tri faktora te da su neki pribrojnici jednaki, tj. da se ponavljaju. Ta pravilna ponavljanja će nam dati tzv. [[Binomni koeficijent|binomne koeficijente]]. Uočimo da smo raspisivanjem na ovaj način dobili ''svaku moguću'' listu ili poredak dva objekta, <math>x, y </math> raspoređenih na <math> 3 </math> mjesta. Napomenimo još da je svaki poredak, tj. pribrojnik u raspisu, naveden točno jednom (iako su, očito nakon računanja, primjerice, pribrojnici <math> xxy, xyx </math> jednaki) te svaki pribrojnik odgovara nekom od mogućih poredaka. Zato će biti moguće jednostavno provesti sljedeći kombinatorni račun.

Nađimo, na primjer, koliko ima pribrojnika koji sadrže točno dva faktora <math> y </math>, tj. nabrojimo koliko ima pribrojnika koji su jednaki <math> xy^2. </math>

Označimo prvo mjesto liste s <math> 1, </math> drugo s <math> 2 </math>, itd. te neka je <math> S = \{1, 2, ..., n\}. </math> Sada zapravo tražimo na koliko načina možemo izabrati 2 elementa skupa <math> S </math> s tim da poredak u potpunosti zanemarujemo, tj. npr. odabir <math> (1, 2) </math> je očito jednak odabiru <math> (2, 1) </math> jer ne permutiramo jedan objekt, u ovom slučaju faktor <math> y </math>.

Tih odabira ima točno <math> {3 \choose 2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3. </math>

Dakle, faktora <math> x^3 </math> ima <math> {3 \choose 0} = 1 </math>, faktora <math> x^2y </math> ima <math> {3 \choose 1} = 3,</math> faktora <math> xy^2 </math> ima <math> {3 \choose 2} = 3</math> te konačno faktora <math> y^3 </math> ima <math> {3 \choose 3} = 1. </math>

Ovdje je moguće uočiti i osnovne relacije iz Pascalova trokuta zbog simetričnosti strukture koju promatramo.

==== Generalni slučaj====
Sada možemo prijeći na generalni slučaj, <math> (x + y)^n = (x + y) \cdot ... \cdot (x + y) \ (n \text{ faktora}) </math> te koristimo distributivno pravilo na gore navedeni način.

Svaki pribrojnik će imati <math> n </math> faktora. Označimo prvo mjesto s <math> 1, </math> drugo mjesto s <math> 2, </math> itd. Dakle, zapravo tražimo broj načina za izabrati <math> k </math> elemenata iz <math> S = \{1, 2, ..., n\}. </math>

Tražimo koliko ima pribrojnika koji imaju <math> 0 \leq k \leq n </math> faktora <math> y. </math>
Sada je jasno da zapravo tražimo broj načina za izabrati <math> k </math> elemenata iz <math> S = \{1, 2, ..., n\}. </math> Broj načina je jednak <math> \frac{n!}{(n - k)!k!} = {n \choose k}.</math>

Uz to, uočimo još da je prema gornjoj argumentaciji <math>k</math>-ti član u raspisu zaista <math>{n \choose k - 1}x^{n - k}y^k.</math>

=== Dokaz indukcijom ===
Binomna se formula, odnosno ekspanzija izraza <math>(a + b)^n </math>, jednostavno može dokazati [[Aksiom matematičke indukcije|metodom matematičke indukcije]].

Za <math>n = 1 </math> valjanost formule je očigledna.

Pretpostavimo zato da je formula ispravna za neki prirodni broj <math>n</math>.

Tada je <math>{(a + b)}^{n + 1} = (a + b){(a + b)}^n</math>.

Prema pretpostavci, sada pišemo <math>(a + b)^{n + 1} = (a + b)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k </math>, što daje
<math>\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k + 1} </math>.

Zbrajajući članove ove ekspanzije, dobivamo da je binomni koeficijent ispred monoma <math>a^{n + 1 - k}b^k </math> jednak <math>{n}\choose{k}</math> <math>+</math> <math>{n}\choose{k - 1}</math>.

Pascalovom pravilo za binomne koeficijente je

Vrijedi identitet za binomne koeficijente

<math>{n}\choose{k}</math> <math> + </math> <math>{n}\choose{k - 1} </math> <math> =</math> <math> {n + 1}\choose{k}</math>, a zovemo ga Pascalovom formulom (ili pravilom), a njenom primjenom odmah slijedi valjanost formule za <math>n+1</math>.<ref>Charles C. Pinter, ''A Book of Abstract Algebra'', Dover Publications, New York, 2010.</ref>
<ref> Boris Pavković, Darko Veljan, Elementarna matematika, I., Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.</ref>

==Primjeri==
[[Image:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|Pascalov trokut]]
Najjednostavniji primjer je kvadrat od ''x+y'' :

:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>

Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu [[Pascalov trokut|Pascalova trokuta]]. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.

<math>
\begin{align}
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}
</math>

Primijetite da :
# eksponenti od ''x'' se smanjuju dok ne dođu do nule (<math>x^0=1</math>), a početna im je vrijednost ''n''
# eksponenti od ''y'' rastu dok ne dođu do ''n'', a početna im je vrijednost 0 (<math>x^0=1</math>)
# ''N''-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
# Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak <math>2^n</math>.

Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se također može primijeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :

:<math>(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!</math>

===Geometrijski dokaz===
[[datoteka:Binomial expansion visualisation.svg|mini|desno|270px|Geometrijski dokaz binomnog poučka]]
Za pozitivne vrijednosti ''a'' i ''b'', binomni poučak za ''n'' = 2, geometrijski je očito da se [[kvadrat]] sa stranicom ''(a+b)'' može izrezati u kvadrat sa stranicom <math>a^2</math>, kvadrat sa stranicom <math>b^2</math>, i dva pravokutnika da stranicama ''a'' i ''b''. Za ''n=3'', poučak kaže da se kocka sa stranicom ''(a + b)'' može izrezati u kocku sa stranicom <math>a^3</math>, kocku sa stranicom <math>b^2</math>, tri kvadra oblika ''a''×''a''×''b'' te tri kvadra oblika ''a''×''b''×''b''.

==Binomni koeficijenti==

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu [[Binomni koeficijent|binomni koeficijenti]].

===Formule===

Koeficijent od ''x''''n''−''k''''y''''k'' je zadan formulom

:<math>{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>,

koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao :

:<math>{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}</math>

Iako ova formula sadrži [[razlomak]], rezultat je uvijek [[cijeli broj]]. Dokaz:

# Potrebno je dokazati da ''k''! dijeli umnožak ''k'' uzastopnih cijelih brojeva.
# Rastavimo umnoške na proste faktore. Dokazat ćemo da se neki prosti faktor ''p'' pojavljuje u ''k''! manje ili jednako puta koliko u umnošku ''k'' uzastopnih brojeva.
# Indukcijom, ''p'' se u umnošku ''k'' uzastopnih brojeva najmanje puta pojavljuje za ''n'' = ''k p'' + 1 ({{matematika|''k'' ∈ ℤ}}) jer će mu najduže trebati da prođe prvi višekratnik, pa sljedeći itd.
# Za ''k'' = 0, ''n'' = 1 te je time tvrdnja dokazana.

== Generalizacija ==
Poučak je moguće generalizirati s <math> (x + y)^n </math> na <math> (x_1 + x_2 + ... + x_m)^n </math>. Zato se taj generalizirani teorem naziva ''Polinomijalna formula'' ili ponegdje ''Multinomni teorem''. Kombinatorni dokaz tog teorema sličan je dokazu navedenom u ovom članku.

==Izvori==
{{izvori}}

[[Kategorija:Matematika]]

Binomni poučak - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica