WikiSysop: bnz

2022-04-28T10:24:57Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 28. travanj 2022. u 10:24
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Binarne relacije'''-->~~'''Binarna relacija''' na [[Skup (matematika)\|skupu]] <math>S</math> je svaki podskup <math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> (podskup [[Kartezijev produkt\|Kartezijevog produkta]] skupa <math>S</math> sa samim sobom). Ako je [[uređeni par]] <math>(x, y) \in \mathcal{R}</math> onda kažemo da je <math>x</math> u relaciji <math>\mathcal{R}</math> s <math>y</math>, i pišemo <math>x \mathcal{R} y</math> ili <math>\mathcal{R}(x, y)</math>.		'''Binarna relacija''' na [[Skup (matematika)\|skupu]] <math>S</math> je svaki podskup <math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> (podskup [[Kartezijev produkt\|Kartezijevog produkta]] skupa <math>S</math> sa samim sobom). Ako je [[uređeni par]] <math>(x, y) \in \mathcal{R}</math> onda kažemo da je <math>x</math> u relaciji <math>\mathcal{R}</math> s <math>y</math>, i pišemo <math>x \mathcal{R} y</math> ili <math>\mathcal{R}(x, y)</math>.

	Primjer:		Primjer:

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-07-24T02:19:11Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Binarna relacija''' na [[Skup (matematika)|skupu]] <math>S</math> je svaki podskup <math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> (podskup [[Kartezijev produkt|Kartezijevog produkta]] skupa <math>S</math> sa samim sobom). Ako je [[uređeni par]] <math>(x, y) \in \mathcal{R}</math> onda kažemo da je <math>x</math> u relaciji <math>\mathcal{R}</math> s <math>y</math>, i pišemo <math>x \mathcal{R} y</math> ili <math>\mathcal{R}(x, y)</math>.

Primjer:

Neka je S neprazan skup, <math>S</math> = {1,2,3,4}, Kartezijev produkt skupa S sa samim sobom je:
<math>SxS</math> = {{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{2,1},{2,2},{2,3},{2,4},{3,1},{3,2},{3,3},{3,4},{4,1},{4,2},{4,3},{4,4}}
Binarna relacija <math><</math> ("uobičajena" relacija ''biti manji od'' nasljeđena iz skupa realnih brojeva) na skupu SxS je onaj podskup skupa SxS za kojeg vrijedi da je <math>x \mathcal{R} y</math>, tj. u ovom primjeru x<y:
<math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}

Ova relacija nije refleksivna jer za niti jedan uređeni par ne vrijedi da je x<x (x manji od samog sebe),
npr. da bi relacija bila refleksivna za (1,2) trebao bi postojati element skupa <math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> oblika (1,1).

Također nije simetrična jer za niti jedan uređeni par ne vrijedi da je y<x, ako vrijedi da je x<y
npr. ne postoji element <math>\mathcal{R} \subseteq S \times S</math> za (2,3) oblika (3,2)

Ova relacija je tranzitivna jer za x<y i y<z vrijedi da je x<z
npr. za (1,2) i (2,3) postoji element (1,3)

Nije antisimetrična jer ne vrijedi x<y i y<x iz čega bi slijedilo da je x=y.

Binarna relacija može biti:
* '''[[refleksivna relacija|refleksivna]]''': ako je <math>x\mathcal{R} x,\forall x \in S</math> (svaki element je u relaciji sam sa sobom);
* '''[[antirefleksivna relacija|antirefleksivna]]''' ([[irefleksivna relacija|irefleksivna]]): ako je <math>\neg(x\mathcal{R} x) ,\forall x \in S</math> (niti jedan element ne smije biti u relaciji sam sa sobom);
* '''[[simetrična relacija|simetrična]]''': ako <math>x\mathcal{R} y \Rightarrow y\mathcal{R} x, \forall x,y\in S</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> onda i <math>y</math> mora biti u relaciji sa <math>x</math>);
*'''[[antisimetrična relacija|antisimetrična]]''': ako <math>(x\mathcal R y) \land (y\mathcal R x) \Rightarrow x=y</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> i <math>y</math> u relaciji sa <math>x</math>, onda je <math>x = y</math>);
*'''[[asimetrična relacija|asimetrična]]''': ako <math>x\mathcal{R} y \Rightarrow \neg (y\mathcal{R} x) , \forall x,y\in S</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math> onda <math>y</math> ne smije biti u relaciji sa <math>x</math>);
* '''[[tranzitivna relacija|tranzitivna]]''': ako <math>(x\mathcal R y) \land (y\mathcal R z) \Rightarrow x\mathcal R z</math> (ako je <math>x</math> u relaciji sa <math>y</math>, i <math>y</math> u relaciji sa <math>z</math> onda je <math>x</math> i u relaciji sa <math>z</math>);
*

== Relacija ekvivalencije ==
Binarna relacija je '''[[relacija ekvivalencije]]''', ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

U slučaju kada se domena relacije podudara sa skupom na kojem je relacija zadana, dovoljan uvjet da ona bude relacija ekvivalencije je da bude simetrična i tranzitivna (refleksivnost će slijediti iz spomenutih svojstava). Vidi [[klasa ekvivalencije]].

== Parcijalni uređaj i totalni uređaj ==
Binarna relacija je '''(strogi) [[parcijalni uređaj]]''' ako je antirefleksivna i tranzitivna. Ako dodatno dopustimo jednakost elemenata uz tako definiranu relaciju, novonastala relacija naziva se '''[[refleksivna relacija parcijalnog uređaja]]''', relacija koja je refleksivna, tranzitivna i antisimetrična.

Ako dodatno vrijedi i <math>(\forall x,y \in S)</math>, <math>(x\mathcal R y \lor y\mathcal R x)</math>, za relaciju kažemo da je '''[[totalni uređaj]]''', a navedeno svojstvo relacije nazivamo usporedivost ili potpunost.

== Izvori ==
*[https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/2004-neki-osnovni-pojmovi-skupovi.pdf Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu] Mladen Vuković: Neki osnovni pojmovi teorije skupova, 2004. str. 3 (pristupljeno 8. listopada 2019.)

[[Kategorija:Binarne relacije| ]]

Binarne relacije - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica