WikiSysop: Zamjena teksta - ''' u ''

2024-12-09T12:49:51Z

Zamjena teksta - ''' u ''

←Starija inačica		Inačica od 9. prosinac 2024. u 12:49
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Baza (linearna algebra)'''-->'~~''Baza''' nekog [[vektorski prostor\|vektorskog prostora]] <math> V </math> nad [[polje (algebra)\|poljem]] <math>K</math> je uređeni [[skup]] međusobno linearno nezavisnih i nenul [[vektor]]a <math> e = \{e_1, e_2, ..., e_n\}, </math> čijim se linearnim kombinacijama mogu jednoznačno predstaviti svi ostali vektori iz <math> V </math>. Neka je <math> a </math> jedan takav vektor. Vrijedi:		''Baza''' nekog [[vektorski prostor\|vektorskog prostora]] <math> V </math> nad [[polje (algebra)\|poljem]] <math>K</math> je uređeni [[skup]] međusobno linearno nezavisnih i nenul [[vektor]]a <math> e = \{e_1, e_2, ..., e_n\}, </math> čijim se linearnim kombinacijama mogu jednoznačno predstaviti svi ostali vektori iz <math> V </math>. Neka je <math> a </math> jedan takav vektor. Vrijedi:

	:<math>a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K</math>		:<math>a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K</math>

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T04:56:08Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Baza''' nekog [[vektorski prostor|vektorskog prostora]] <math> V </math> nad [[polje (algebra)|poljem]] <math>K</math> je uređeni [[skup]] međusobno linearno nezavisnih i nenul [[vektor]]a <math> e = \{e_1, e_2, ..., e_n\}, </math> čijim se linearnim kombinacijama mogu jednoznačno predstaviti svi ostali vektori iz <math> V </math>. Neka je <math> a </math> jedan takav vektor. Vrijedi:

:<math>a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K</math>

Odavde slijedi da je ovakav skup također i ''minimalan'', tj. da ne postoji neki drugi skup vektora <math> f = \{f_1, f_2, ..., f_m\}, </math> takav da je <math> m < n </math> koji bi također bio baza.

Ako bi pretpostavili da takav skup vektora <math> f </math> postoji, tada bi se svaki od <math> m </math> vektora <math> f_i </math> mogao prikazati kao linearna kombinacija <math> n </math> vektora iz skupa <math> e, </math> odnosno
:::<math>f_i = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, i=1,...,m</math>
Rješavanjem tog sustava <math> m </math> jednadžbi s <math> n </math> nepoznanica, pri čemu je broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, daje parametarska rješenja, što znači da se vektor <math> f_i </math> ne može ''jednoznačno'' prikazati pomoću vektora iz skupa <math> e </math>. To je pak u kontradikciji s pretpostavkom da je skup <math> e </math> baza, pa početna pretpostavka da postoji traženi skup <math> f </math> nije točna.

Kako se u vektorskom prostoru dimenzije <math> n </math> može predstaviti <math> n </math> linearno nezavisnih vektora, njegovu bazu mora činiti najmanje <math> n </math> vektora, što zajedno s gornjim zaključkom o minimalnosti baze daje da baza <math>n</math>-dimenzionog vektorskog prostora <math> V </math> ima točno <math> n </math> vektora.

== Kanonska baza ==

Jedna od baza <math>n</math>-dimenzionog vektorskog prostora <math>V</math> se može definirati na sljedeći način:

<math>e:= \{e_i = (\underbrace{0,\dots ,0 }_{i-1},1,\underbrace{0,\dots ,0 }_{n-i}), \;\; i=1,\dots ,n \}</math>

Ova se baza naziva kanonskom bazom tog prostora, a po definiciji je ''ortonormirana''.

== Vidjeti također ==
* [[Ortonormirana baza]]

{{mrva-mat}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]

Baza (linearna algebra) - Povijest promjena

WikiSysop: Zamjena teksta - ''' u ''

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica