WikiSysop: bnz

2022-05-01T16:26:48Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 1. svibanj 2022. u 16:26
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Apsolutna vrijednost broja'''-->~~U [[matematika\|matematici]] je '''apsolutna vrijednost''' ili '''modul''' realnog broja ''a'' izraz \|''a''\| koji određuje veličinu broja bez obzira na pozitivan ili negativan [[predznak]]. Na taj način apsolutna vrijednost broja x i broja -x iznosi x (npr. \|1\| = \|- 1\| = 1).		U [[matematika\|matematici]] je '''apsolutna vrijednost''' ili '''modul''' realnog broja ''a'' izraz \|''a''\| koji određuje veličinu broja bez obzira na pozitivan ili negativan [[predznak]]. Na taj način apsolutna vrijednost broja x i broja -x iznosi x (npr. \|1\| = \|- 1\| = 1).

	== Apsolutna vrijednost realnog broja ==		== Apsolutna vrijednost realnog broja ==

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-16T02:03:26Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[matematika|matematici]] je '''apsolutna vrijednost''' ili '''modul''' realnog broja ''a'' izraz |''a''| koji određuje veličinu broja bez obzira na pozitivan ili negativan [[predznak]]. Na taj način apsolutna vrijednost broja x i broja -x iznosi x (npr. |1| = |- 1| = 1).

== Apsolutna vrijednost realnog broja ==
[[Image:Absolute value.svg|thumb|300px|Graf funkcije apsolutne vrijednosti realnog broja]]
Pojam apsolutne vrijednosti, odn.modula broja koristi se negdje od 1806. godine, a uveo ga je francuski matematičar [[Jean-Robert Argand]] i to za apsolutnu vrijednost kompleksnog broja.

Za svaki [[realni broj]] ''a'' apsolutna vrijednost broja ili modul od ''a'' je definirana kao

:<math display="inline">|a| = \begin{cases} a, & \mbox{ako } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{ako } a < 0. \end{cases} </math>

Apsolutna vrijednost broja ''a'' je uvijek pozitivna (slika desno) ili jednaka nuli, no nikada negativna. S gledišta [[analitička geometrija|analitičke geometrije]] apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ishodišta duž samog brojevnog pravca, odnosno općenito iskazano apsolutna vrijednost razlike dva realna broja je njihova međusobna udaljenost što je ujedno sadržaj i jedne od definicija apsolutnog broja.

Definiramo li funkciju kvadratnog korijena kao pozitivan kvadratni korijen, apsolutnu vrijednost broja možemo odrediti i kao

:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>

izraz koji se nekada koristi i kao definicija apsolutne vrijednosti nekog broja.

== Svojstva ==
=== Osnovna svojstva apsolutne vrijednosti realnog broja ===
Apsolutna vrijednost broja ima četiri osnovna svojstava:

:<math>|a| \ge 0 </math>

:<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math>

:<math>|ab| = |a||b|\,</math>

:<math>|a+b| \le |a| + |b| </math>

=== Dodatna svojstva apsolutne vrijednosti realnog broja ===
Iz osnovnih svojstava apsolutne vrijednosti realnog broja slijede i neka dodatna svojstva:

:<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math>

:<math>|a - b| \le |a - c| +|c - b| </math>

:<math>|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (ako } b \ne 0) \,</math>

:<math>|a-b| \ge ||a| - |b|| </math>

== Apsolutna vrijednost kompleksnog broja ==
[[Image:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|Apsolutna vrijednost kompleksnog broja ''z'' je udaljenost ''r'' do ishodišta. Slika zorno prikazuje da ''z'' i njegova konjugirano-kompleksna vrijednost <span style="text-decoration: overline">''z''</span> imaju istu apsolutnu vrijednost.]]
Kako [[kompleksni broj|kompleksni brojevi]] nisu skup brojeva uređen na brojevnom pravcu, osnovna definicija apsolutne vrijednosti broja koja vrijedi za realne brojeve, ne može se neposredno generalizirati i za kompleksne brojeve

Međutim izraz oblika

:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>

otvara i mogućnost definiranja apsolutne vrijednosti, odnosno modula kompleksnog broja. Za svaki kompleksni broj zadan kao

:<math>z = x + iy,\,</math>

gdje su ''x'' i ''y'' realni brojevi, apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja ''z'' označava se sa |''z''| i definirana je kao

:<math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.</math>

Na taj način je apsolutna vrijednost realnog broja ''x'' jednaka njegovoj apsolutnoj vrijednosti i ukoliko se on razmatra kao kompleksni broj, odnosno:

:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math>

Slično geometrijskoj interpretaciji apsolutne vrijednosti realnog broja, na temelju [[Pitagorin poučak|Pitagorina poučka]] slijedi da je apsolutna vrijednost kompleksnog broja njegova udaljenost u kompleksnoj ravnini od centra, odn. ishodišta kompleksne ravnine (slika desno). Još općenitija definicija kaže da je apsolutna vrijednost razlike dva kompleksna broja jednaka međusobnoj udaljenosti ta dva kompleksna broja u kompleksnoj ravnini.

=== Svojstva apsolutne vrijednosti kompleksnog broja ===
Apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva dijele ista svojstva sa apsolutnim vrijednostima realnih brojeva. Štoviše, ako je kompleksni broj određen kao

:<math> z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,</math>

onda je

:<math>\overline{z} = x - iy</math>

konjugirano-kompleksna vrijednost broja ''z''.

Tada se lako može vidjeti da vrijedi i

:<math>\begin{align} |z| & = r, \\ |z| & = |\overline{z}|\end{align}</math>

:<math>|z| = \sqrt{z\overline{z}} </math> i

:<math>|z|^2 = z\overline{z} = x^2 + y^2</math>.

== Funkcije ==
===Funkcija apsolutne vrijednosti realnog broja===
[[Funkcija (matematika)|Funkcija]] apsolutne vrijednosti je [[Neprekidnost funkcije|kontinuirana]] u cijelom području definicije. Ona je derivabilna svugdje izuzevši za ''x'' = 0. Monotono je padajuća u [[interval (matematika)|intervalu]] <nowiki>(−∞, 0]</nowiki> i monotono rastuća u intervalu <nowiki>[0, ∞)</nowiki>.

===Funkcija apsolutne vrijednosti kompleksnog broja===
Funkcija apsolutne vrijednosti kompleksnog broja je [[Neprekidnost funkcije|kontinuirana]] u cijelom području definicije, no nigdje nije derivabilna iz razloga što narušava [[Cauchy-Riemannova jednadžba|Cauchy-Riemannove jednadžbe]].

== Značaj ==
Pojam apsolutne vrijednosti realnog, odnosno kompleksnog broja pojavljuje se u brojnim područjima ne samo matematike, već i fizike i u stanovitog broja tehničkih struka. Apsolutna vrijednost nekog broja usko je u svezi s kompleksnim brojevima i vektorima općenito, te poljima i vektorskim veličinama razmatranim unutar područja fizike i tehničkih struka (različite sile i polja, gibanja, fazori električnih napona i struja itd.)

[[Kategorija:Algebra]]

Apsolutna vrijednost broja - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica