WikiSysop: bnz

2022-04-30T14:27:04Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 30. travanj 2022. u 14:27
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Analitička geometrija'''-->~~[[File:Torus.png\|right\|260px]]		[[File:Torus.png\|right\|260px]]
	'''Analitička geometrija''' je grana [[geometrija\|geometrije]] u kojoj se koriste [[algebra\|algebarske]] metode prvenstveno [[linearna algebra\|linearne algebre]] da bi se riješili geometrijski problemi.		'''Analitička geometrija''' je grana [[geometrija\|geometrije]] u kojoj se koriste [[algebra\|algebarske]] metode prvenstveno [[linearna algebra\|linearne algebre]] da bi se riješili geometrijski problemi.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-10-14T01:52:47Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[File:Torus.png|right|260px]]
'''Analitička geometrija''' je grana [[geometrija|geometrije]] u kojoj se koriste [[algebra|algebarske]] metode prvenstveno [[linearna algebra|linearne algebre]] da bi se riješili geometrijski problemi.

Metoda analitičke geometrije se koristi u svim primijenjenim znanostima, ali posebno unutar fizike, npr. za opis putanje planeta.
Prvo se je analitička geometrija bavila pitanjima planeta i tzv. [[euklidska geometrija|euklidskom geometrijom]] (prostornom geometrijom).

==Koordinatni sustav==
[[File:Cartesien-system.svg|right|280px]]
Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi [[Kartezijev koordinatni sustav]].

==Analitička geometrija u R2==

===Koordinatni sustav i transformacije===
Sa ''(x, y)'' označavaju se početne koordinate a sa ''(x', y')'' nove

====Paralelno pomjeranje ====
Ako ''x''0, ''y''0 su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:
:<math>x' = x-x_0,\quad y'=y-y_0\,</math>

====Rotacija====
Ako se kut rotiranja <math>\alpha</math> smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni ''x''-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim ''y''-osom) onda su formule za transformaciju:
:<math>x'=x\cos\alpha + y\sin\alpha \quad x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\,</math>
:<math>y'=y\cos\alpha - x\sin\alpha \quad y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\,</math>

===Udaljenost između dvije točke===
Udaljenost između točaka (''x''1, ''y''1) i (''x''2, ''y''2) je:
:<math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\,</math>

===Površina trokuta===
Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (''x''1, ''y''1),
(''x''2, ''y''2) i
(''x''3, ''y''3), njihova površina je
:<math>
\pm T = \frac{1}{2}
\begin{vmatrix}
x_1 &y_1 &1\\
x_2 &y_2 &1\\
x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix}
=</math>
:<math>= \frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\,</math>
Da bi ''T'' bilo pozitivno, moraju točke (''x''1,''y''1),
(''x''2, ''y''2) i
(''x''3, ''y''3) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

===Dijeljenje udaljenosti===
Ako se udaljenost između točaka (''x''1, ''y''1) och (''x''2, ''y''2), dijeli u odnosu na ''m/n'' koordinate će biti:
:<math> x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}\,</math>

===Koeficijent kuta pravca ===
Neka <math>\alpha</math> je kut koji pravac zatvara s ''x''-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (''x''1, ''y''1) i (''x''2,''y''2) onda je oeficijent kuta pravca:
:<math> \tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};\quad x_1 \ne x_2\,</math>

===Jednadžba pravca===
Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po ''x'' i ''y'' i opća formula je
:<math>Ax+By+C=0\,</math>
Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.
:<math>x=a\,</math>
znači pravac paralelan s ''y''-osom i
:<math>y=b\,</math>
pracac paralelan s
är en linje parallell med ''x''-osom.
:<math>y=k\,x\,</math>
je pracac kroz koordinatni početak.

====k-formula====
Pravac se može napisati i u obliku
:<math>y=k\,x+m\,</math>
ako je pravac paralelan s ''y''-osom, tj. ''B'' är različit od nule. Ovdje je ''k'' koeficijent kuta pravca
:<math>k = -\frac{A}{B},\quad m = -\frac{C}{B}\,</math>
i ''m'' ''y''-koordinate dodira pravca s ''y''-osom.
[[File:Intercept-form.svg|right|180px]]

====Presjek====
Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca ''x''-ose i y-ose i pišu se
:<math> \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1</math>
gdje ''a'' je ''x''-koordinata za točku presjeka pravca s ''x''-osom a ''b'' je ''y''-koordinata za točku presjeka pravca s ''y''-osom ili
:<math>a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B}\,</math>

====Standardni oblik====
[[File:Line-normal-form.svg|right|180px]]
:<math>x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,</math>
je ''standardni oblik'' pravca.
<math>\alpha</math> och ''m'' bestäms ur
:<math>m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},</math>
:<math>\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>
Znak kvadratnog korijena se bira tako da ''m'' bude pozitivno.

''m'' je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i <math>\alpha</math> je kut te normale s ''x''-osom.

==== Udaljenost točke od pravca====
Pravac napisan u standardom obliku
:<math>x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,</math>
Onda je udaljenost točke ''P'' s koordinatama (''x''1,''y''1):
:<math>p=\pm (x_1\cos\alpha + y_1\sin\alpha-m)\,</math>
gdje se znak + bira ako koordinatni početak i ''P'' leže na različitim stranama pravca.

====Formula pravca kroz jednu točku====
Jednadžba za pravac kroz točku (''x''1, ''y''1) s kutnim koeficijentom ''k'' je
:<math>y-y_1=k(x-x_1)\,</math>

====Formula pravca kroz dvije točke====
Jednadžba za pravac kroz točke (''x''1, ''y''1) i (''x''2, ''y''2) je
:<math>y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\,</math>

====Kut između dva pravca====
Ako su koeficijenti kuta pravca ''k''1 i ''k''2 kut između pravaca izračunava se kao:
:<math>\tan\beta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\,</math>

===Krivulje u ravni===
Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata ''x'' i ''y'' i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u ''eksplicitnom obliku''
:<math>y=f(x)\,</math>
u ''implicitnom obliku''
:<math>F(x,y)=0\,</math>
ili u ''parametarskom obliku''
:<math>x=x(t),\quad y=y(t)\,</math>
U [[polarne koordinate|polarnim koordinatama]] <math>(r, \psi)</math> jednadžba krivulje je
:<math>r=f(\psi)\,</math>
ili
:<math>F(r, \psi)=0\,</math>

====Tangenta====
[[File:Tangent-2D.svg|right|200px]]
Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak [[Derivacija|derivaciji]] funkcije u točki dodira:
:<math>k=\frac{dy}{dx}=\frac{d\,f(x)}{dx}\,</math>
:<math>k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,\quad\text{(implicitan oblik)}</math>
:<math>k=\frac{y'(t)}{x'(t)}\,\quad\text{(parametarski oblik)}</math>
[[File:Asymptot.svg|right|200px]]

====Asimptote====
S [[asimptota|asimptotom]] jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u [[beskonačnost]].
Ako se asimptota krivulje ''y = f(x)'' piše pomoću jednadžbe ''y = kx + m'', onda se ''k'' i ''m'' određuju prema:
:<math>k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\,</math>

==Analitička geometrija u R3==
[[File:Coordinate-systen-R3.svg|right|280px|Koordinatni sustav u '''R'''3]]
===Koordinatni sustav===
[[Koordinatni sustav]] u '''R'''3 koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju ''x''-, ''y''- i ''z''-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao
''xy''-ravnina, ''yz''-ravnina i ''xz''-ravnina.

====Pravokutne koordinate====
=====Kosinus smjera=====
[[File:Riktningscosiner.svg|left|200px]]{{clear|left}}
Koordinate točke ''P''' ''(x, y, z)'' su okomita udaljenost do ''yz''-, ''xz''- i ''xy''-ravni.
Ako su <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma\,</math> kutovi između vektora položaja duljine ''r'' i os onda je
:<math>x=r\cos\alpha,\quad y=r\cos\beta,\quad z=r\cos\gamma</math>
gdje
:<math>\cos\alpha,\, \cos\beta,\, \cos\gamma</math>
su ''kosinusi smjera'' označeni sa ''a'', ''b'' i ''c'' za koje vrijedi
:<math>a^2 + b^2 + c^2 = 1\,</math>

=====Kut između dva pravca=====
Ako imamo dva pravca, ''OA''1 sa kosinusima smjera ''a''1, ''b''1 i ''c''1 i ''OA''2 sa kosinusima smjera ''a''2, ''b''2 i ''c''2, onda vrijedi za kut <math>\theta</math> između ''OA''1 i ''OA''2:
:<math>\cos\theta=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\,</math>

=====Rotacija koordinatnog sustava =====
S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (''xyz'') u jedan drugi (''x'y'z''') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u ''xyz''-osi označenim
:za ''x'''-os sa <math>(a', b', c')\,</math>
:za ''y'''-os sa <math>(a'', b'', c'')\,</math>
:za ''z'''-os sa <math>(a''', b''', c''')\,</math>
biće transformacije
:<math>\begin{align}
x&=a'x'+b'y'+c'z'\\
y&=a''z'+b''y'+c''z'\\
z&=a'''x'+b'''y'+c'''z'
\end{align}
\begin{align}\qquad
x'&=a'x+a''y+a'''z\\
y'&=b'x+b''y+b'''z\\
z'&=c'x+c''y+c'''z
\end{align}
</math>

=====Udaljenost između dvije točke=====
Udaljenost ''d'' između točaka (''x''1, ''y''1, ''z''1) i (''x''2, ''y''2, ''z''2) je
:<math>d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\,</math>
Ako su ''a'', ''b'' i ''c'' kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao
:<math>a=\frac{x_2-x_1}{d},\quad b=\frac{y_2-y_1}{d},\quad c=\frac{z_2-z_1}{d},\,</math>

===Ravnina u R3===
[[File:Plane-definition-2.svg|right|240px]]
Ako je (x0, y0, z0) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (''A'', ''B'', ''C'') je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao [[skalrarni proizvod]] okimitog vektora i vektora (x - x0, y - y0, z - z0):
:<math>(A, B, C)(x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0\,</math>
što daje ''generalni oblik'' '''jednadžbe ravni''' kao
:<math>Ax+By+Cz+D=0\,</math>
gdje je ''D''
:<math>-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)\,</math>
Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su
En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är
:<math>\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\quad \frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\quad \frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\,</math>
Znak pred korijenom se izabire tako da je
:<math>\frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}}\,</math> uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

====Okomiti oblik====
Dijeljenjem sa
:<math>\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}\,</math>
dobijemo jednadžbu ravni u ''okomitom obliku''
:<math>x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma=p\,</math>
gdje su<math>\alpha,\beta,\gamma</math> kutevi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a ''p'' je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

====Vektorski oblik====
[[File:Plane-definition.svg|right|240px]]
Jednadžba ravni s okomitim vektorom '''n''', datom točkom '''r'''0 i '''r''' kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku
''(x, y, z)'' u ravnini je
:<math>(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\mathbf{n}=0\,</math>

===Udaljenost točke od ravnine ===
Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine
:<math>x\cos \alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma-p=0\,</math>
a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe sa predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače sa predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine
:<math>x+2y-2z+6=0\,</math>
Jednadžba ravnine u okomitom obliku
:<math>\frac{x+2y-2z+6}{-3}=0;\quad d=\frac{1-3\cdot 2-2\cdot 2 +6}{-3}=1\,</math>

===Kut između dvije ravnine===
Kut <math>\omega</math> između dvije ravnine
:<math>A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\,</math>
:<math>A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\,</math>
izračunava se pomoću jednadžbe
[[File:Plane-angle.svg|right|264px]]
:<math>\cos\omega=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\,</math>
Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:
:<math>\cos\omega=\frac{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\,</math>

===Pravac===
[[Image:IntersectingPlanes.png|right|right|200px]]{{clear|left}}
Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda
:<math>A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\,</math>
:<math>A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\,</math>

Pravac se može napisati pomoću točke ''P'' = (''x''0, ''y''0, ''z''0) na pravcu i vektora pravca '''u''':
[[File:Line in vector form,R3.svg|left|240px]]{{clear|left}}
U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (''x'', ''y'', ''z'') na pravoj liniji:
:<math>(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda (a, b, c)\,</math>
ili
:<math>x=x_0+a\lambda\,</math>
:<math>y=y_0+b\lambda\,</math>
:<math>z=z_0+c\lambda\,</math>
gdje su ''a'', ''b'' i ''c'' koeficijenti pravca,
ili poslije eliminiranja parametara
:<math>\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\,</math>
U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{u}\,</math>

===Krive linije u R3===
Kriva linija u '''R'''3 može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:
:<math>F_1(x,y,z)=0\quad F_2(x,y,z)=0\,</math>
U parametarskom obliku:
:<math>x=x(t)\quad y=y(t)\quad z=z(t)\,</math>
U vektorskom obliku:
:<math>\mathbf{r} = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\,</math>
Primjer:
[[File:Skruvlinje.svg|left|140px]]{{clear|left}}
Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao
:<math>x=r\cos(t)\quad y=r\sin(t)\quad z=k t\,</math>

====Dužina luka====
Dužina luka na krivoj liniji je
:<math>ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\,</math>
Dužina luka između ''t''0 i ''t'' je
:<math>s=\int_{t_0}^{t}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt\,</math>

====Tangenta====
Jednadžba tangente u vektorskom obliku je
:<math>\mathbf{t}=\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+\lambda\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0\,</math>

====Okomita ravan====
Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki ''s'' je
:<math>(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0=0\,</math>

====Dodirna ravnina====
U točki na krivoj liniji u '''R'''3 može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva ''dodirna ravnina'' i ima jednadžbu
:<math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\,</math>
gdje se ''A, B'' i ''C'' izračunavaju iz formula
:<math>A=y'(s)z''(s) - z'(s)y''(s)\,</math>
:<math>B=z'(s)x''(s) - x'(s)z''(s)\,</math>
:<math>C=x'(s)y''(s) - y'(s)x''(s)\,</math>
ili u vektorksom obliku
:<math>(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\times\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0=0\,</math>

====Glavna okomica====
Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva ''glavna okomica''. Njen pravac je isti kao i pravac vektora
:<math>\left(\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0\,</math>
Dužina ovog vektora se naziva ''krivina K'', a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:
:<math>K=\left|\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right|_0=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2y}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2z}{ds^2}\right)_0^2}\,</math>

===Površine u R3===
Površina u '''R'''3 može se napisati u parametarskom obliku
:<math>x=x(u,v)\,</math>
:<math>y=y(u,v)\,</math>
:<math>z=z(u,v)\,</math>
ili u vektorskom obliku
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\,</math>
Jednadžba se može također dati kao
:<math>F(x,y,z)=0\,</math>
ili
:<math>z=f(x,y)\,</math>
U ovom drugom slučaju ''x'' i ''y'' se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:
:<math>\begin{align}
x&=u\\
y&=v\\
z&=f(u,v)
\,\end{align}</math>

==== Linijski element====
:<math>\begin{align}
d\mathbf{r}^2 &=ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 =\\
&=\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\right]dx^2+2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}dx\,dy+\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\right]dy^2\,
\end{align}</math>

====Jednadžba tangente ravnine====
Ako je jednadžba površine
:<math>F(x,y,z)=0\,</math>
može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki
(x0, y0, z0):
:<math>(x-x_0)F_{x_0}'+(y-y_0)F_{y_0}'+(z-z_0)F_{z_0}'=0\,</math>
ili u vektorskom obliku kao
:<math>(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\text{grad}\,F)_0=0\,</math>

====Jednadžba okomice na površinu ====
Ako je jednadžba površine
:<math>F(x,y,z)=0\,</math>
onda vrijedi za okomicu površine u točki
(x0, y0, z0):
:<math>\frac{x-x_0}{F_{x_0}'}=\frac{y-y_0}{F_{y_0}'}=\frac{z-z_0}{F_{z_0}'}\,</math>
ili
:<math>\mathbf{r}-\mathbf{r}_0=\lambda(\text{grad}\,F)_0\,</math>

[[Kategorija:Analitička geometrija| ]]

Analitička geometrija - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica