WikiSysop: bnz

2022-04-29T12:47:45Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 29. travanj 2022. u 12:47
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Alef broj'''-->~~U matematičkoj [[teorija skupova\|teoriji skupova]], '''alef brojevi''' predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje [[kardinalnost]]i (broja članova) [[beskonačni skup\|beskonačnih skupova]]. Njihova oznaka je [[Hebrejska abeceda\|hebrejsko]] slovo [[alef (slovo)\|alef]] (<math>\aleph</math>).		U matematičkoj [[teorija skupova\|teoriji skupova]], '''alef brojevi''' predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje [[kardinalnost]]i (broja članova) [[beskonačni skup\|beskonačnih skupova]]. Njihova oznaka je [[Hebrejska abeceda\|hebrejsko]] slovo [[alef (slovo)\|alef]] (<math>\aleph</math>).

	Kardinalnost skupa [[prirodni brojevi\|prirodnih brojeva]] je <math>\aleph_0</math> (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan <math>\aleph_1</math>, pa <math>\aleph_2</math> i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati [[kardinalni broj]] <math>\aleph_\alpha</math> za svaki [[ordinalni broj]] α.		Kardinalnost skupa [[prirodni brojevi\|prirodnih brojeva]] je <math>\aleph_0</math> (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan <math>\aleph_1</math>, pa <math>\aleph_2</math> i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati [[kardinalni broj]] <math>\aleph_\alpha</math> za svaki [[ordinalni broj]] α.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T07:32:01Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U matematičkoj [[teorija skupova|teoriji skupova]], '''alef brojevi''' predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje [[kardinalnost]]i (broja članova) [[beskonačni skup|beskonačnih skupova]]. Njihova oznaka je [[Hebrejska abeceda|hebrejsko]] slovo [[alef (slovo)|alef]] (<math>\aleph</math>).

Kardinalnost skupa [[prirodni brojevi|prirodnih brojeva]] je <math>\aleph_0</math> (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan <math>\aleph_1</math>, pa <math>\aleph_2</math> i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati [[kardinalni broj]] <math>\aleph_\alpha</math> za svaki [[ordinalni broj]] α.

Ovaj je koncept uveo [[Georg Cantor]], koji je i uveo pojam kardinalnosti, te došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu imati različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od [[beskonačnost]]i (∞) koja se često susreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označuju veličinu skupova; beskonačnost, s druge strane, se obično definira kao krajnja granica pravca realnih brojeva. Iako neki alef brojevi mogu biti veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

== Alef-nula ==

Alef-nula (<math>\aleph_0</math>) je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, [[aksiom izbora|aksiom izbora]]). Alef-nula je najmanji od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost <math>\aleph_0</math> [[ako i samo ako]] je [[prebrojivo beskonačno|prebrojivo beskonačan]], što je slučaj ako i samo ako se može napraviti izravna [[bijekcija]], ili [[jedan-jedan preslikavanje]] sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih [[prost broj|prostih brojeva]], svih [[cijeli broj|cijelih brojeva]] ili skup svih [[racionalan broj|racionalnih brojeva]].

== Alef-jedan ==

<math>\aleph_1</math> je kardinalnost skupa svih prebrojivih [[ordinalni broj|ordinalnih brojeva]], zvanog '''ω<sub>1</sub>''' ili '''Ω'''. Treba imati na umu da je '''ω<sub>1</sub>''' neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj [[Zermelo-Fraenkel teorija skupova|Zermelo-Fraenkel teoriji skupova]] (ZF), ''bez'' aksioma izbora) da ne postoji kardinalan broj između <math>\aleph_0</math> i <math>\aleph_1</math>. Ako se koristi [[aksiom izbora]], može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno (totalno) uređena, te da je stoga <math>\aleph_1</math> drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korištenjem aksioma izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa '''Ω''' (standardan primjer skupa veličine <math>\aleph_1</math>): svaki prebrojivi podskup skupa '''Ω''' ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u '''Ω''' (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva - ovo je jedna od najčešćih primjena aksioma izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u <math>\aleph_0</math>: svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od '''ω''') ima maksimum, koji je također prirodan broj (ima gornju granicu u '''ω''') — konačne unije konačnih skupova su konačne.

'''Ω''' je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotičan. Primjer primjene je ''zatvaranje'' u odnosu na prebrojive operacije; na primjer, pokušaj eksplicitnog opisivanja [[sigma-algebra|σ-algebra]] generirane proizvoljnom kolekcijom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa "generiranja" u algebri (na primjer [[vektorski prostor|vektorskih prostora]], [[teorija grupa|grupa]], itd.) jer u tim slučajevima moramo zatvoriti samo u odnosu na konačne operacije - zbrajanja, umnoške i slično. Proces uključuje definiranje, za svaki prebrojivi ordinal, putem [[transfinitna indukcija|transfinitne indukcije]], skupa ''ubacivanjem'' svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad cijelim '''Ω'''.

== [[Hipoteza kontinuuma]] ==

Kardinalnost skupa [[realni broj|realnih brojeva]] je <math>2^{\aleph_0}</math>. Nije jasno gdje ovaj broj potpada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz [[hipoteza kontinuuma|hipoteze kontinuuma]] slijedi identitet:

:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>

Hipoteza kontinuuma je neovisna od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora: ne može se ni dokazati niti opovrgnuti unutar konteksta tog aksiomatskog sustava. [[Kurt Gödel]] je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova s aksiomom izbora; [[Paul Cohen (matematičar)|Paul Cohen]] je 1963. demonstrirao neovisnost od ZF teorije skupova s aksiomom izbora.

== Alef-ω ==

Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označuje sa ω, i kardinalan broj <math>\aleph_\omega</math> je najmanja gornja granica

:<math>\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}.</math>

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da ''nije'' jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan cijeli broj ''n'' se može konzistentno pretpostaviti da je <math>2^{\aleph_0} = \aleph_n</math>, i štoviše, moguće je pretpostaviti da je <math>2^{\aleph_0}</math> proizvoljno velik.

== Alef-α za opći α ==

Kako bi se definirao alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, mora se definirati [[kardinalni sljedbenik|operacija kardinala sljedbenika]], koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodjeljuje sljedeći veći [[dobra uređenost (matematika)|dobro uređen]] kardinal <math>\rho^+</math>. (Ako vrijedi aksiom izbora, tada je ovo sljedeći veći kardinal.)

Tada se mogu definirati alef brojevi na sljedeći način

:<math>\aleph_{0} = \omega</math>
:<math>\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+</math>

i za λ, beskonačan granični ordinal,

:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math>

α-ti beskonačni početni ordinal se označuje sa <math>\omega_\alpha</math>. Njegova kardinalnost je <math>\aleph_\alpha</math>.

== Fiksne točke za alef ==

Za bilo koji ordinal α slijedi
:<math>\alpha\leq\aleph_\alpha.</math>
U mnogim slučajevima <math>\aleph_{\alpha}</math> je strogo veći od α. Na primjer, za bilo koji ordinal sljedbenik α, ovo vrijedi. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksne točke alef funkcije. Prvi takav je granica niza
:<math>\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots</math>
Svaki [[nedostupni kardinal]] je također fiksna točka alef funkcije.

== Vidjeti također ==
* [[Georg Cantor]]
* [[Kardinalan broj]]
* [[Neprebrojiv skup]]
* [[Hipoteza kontinuuma]]
* [[Bet broj]]

[[Kategorija:Teorija skupova]]

Alef broj - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica