Vidi kôd stranice Krivulja Sierpińskog

<!--'''Krivulja Sierpińskog'''-->[[Datoteka:Sierpinski-Curve-3.png|mini|300px|prve tri iteracije (crvena: prva, crna: druga, plava: treća)]]
'''Krivulja Sierpińskog''' je [[Beskonačno guste krivulje|beskonačno gusta krivulja]] koju je opisao [[Poljska|poljski]] [[:Kategorija:Matematičari|matematičar]] [[Wacław Franciszek Sierpiński]]. Za razliku od [[Peanova krivulja|Peanove]] i [[Hilbertova krivulja|Hilbertove]], ova je [[krivulja]] zatvorena. Osim toga, složenija je jer, osim [[pravi kut|pravih]], sadrži i [[kut]]ove od 45°.


== Konstrukcija ==
Svaka se [[iteracija]] dobije tako da se prethodna upola smanji te se naprave još tri kopije. Te se četiri krivulje [[translacija|translatiraju]] tako da vrhovi "kosog" dijela iz prethodne iteracije budu na polovištima okomitih i vodoravnih stranica iz ove iteracije (vidi sliku desno). Tada se svakoj krivulji iz ove iteracije oduzme "kosa" stranica najbliža središtu [[kvadrat]]a u kojem se krivulja crta te se vrhovi oduzetih stranica spoje s dva najbliža vrha susjednih oduzetih stranica. Krivuljom Sierpińskog nazivamo krivulju koja se dobije kad broj iteracija teži u beskonačno.

<gallery>
Slika:Sierpiński curve order 0.svg|nulta iteracija
Slika:Sierpiński curve order 1.svg|prva iteracija
Slika:Sierpiński curve order 2.svg|druga iteracija
Slika:Sierpiński curve order 3.svg|treća iteracija
Slika:Sierpiński curve order 4.svg|četvrta iteracija
Slika:Sierpiński curve order 5.svg|peta iteracija
</gallery>

== Svojstva ==
[[Duljina]] krivulje Sierpińskog jednaka je <math> l_n = {2 \over 3} (1+\sqrt 2) 2^n - {1 \over 3} (2-\sqrt 2) {1 \over 2^n} </math>, gdje je ''n'' broj iteracije. Iz ovog se može vidjeti da duljina raste [[eksponencijalna funkcija|eksponencijalno]] s porastom broja iteracije.

[[Površina]] koju zatvara ova krivulja jest konačna. Najlakše ju je izračunati ako sliku prve iteracije podijelimo na 64 [[kvadrat]]a (polje od 8 puta 8 kvadrata). Tada vidimo (jednostavnim brojenjem) da je unutar krivulje površina jednaka površini 22 kvadrata. Drugu iteraciju podijelimo na 256 jednakih kvadrata te izbrojimo površinu 102 kvadratića. Treću bismo iteraciju podijelili na 1024 kvadratića te izbrojili površinu od 422 unutar krivulje. Ukupna se površina može prikazati kao zbroj površine prve iteracije i geometrijskog reda kvocijenta 1/4:
:<math>\frac{22}{64} + \left( \frac{14}{256} + \frac{14}{1024} + \cdots \right) = \frac{22}{64} + \frac{\frac{14}{256}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{5}{12}</math>.


== Vidi još ==
{{commons|Sierpiński curve}}
*[[Fraktali]]
*[[Beskonačno guste krivulje]]
*[[Peanova krivulja]]
*[[Hilbertova krivulja]]
*[[Zmajolika krivulja]]


== Vanjske poveznice ==
* [http://www.inf.ethz.ch/personal/staerk/applets/Sierpinski.html java applet]

[[Kategorija:Fraktali]]