Vidi kôd stranice Hipoteza kontinuuma

U [[matematika|matematici]], '''hipoteza kontinuuma''' je [[hipoteza]] o mogućim veličinama [[beskonačnost|beskonačnih]] [[skup (matematika)|skupova]]. [[Georg Cantor]] je uveo koncept [[kardinalnost]]i kako bi usporedio veličine beskonačnih skupova, i pokazao je da je skup [[cijeli broj|cijelih brojeva]] strogo manji od skupa [[realan broj|realnih brojeva]]. Hipoteza [[kontinuum|kontinuuma]] tvrdi sljedeće:
:Ne postoji skup čija je veličina strogo između veličine skupa cijelih brojeva i veličine skupa realnih brojeva.

Ili matematički rečeno, ako uzmemo da je kardinalnost skupa cijelih brojeva <math>|\mathbb{Z}|</math> jednaka <math>\aleph_0</math> (''[[alef broj|alef-nula]]'') a kardinalnost realnih brojeva <math>|\mathbb{R}|</math> jednaka <math>2^{\aleph_0}</math>, hipoteza kontinuuma glasi:

:<math>\nexists \mathbb{A}: \aleph_0 < |\mathbb{A}| < 2^{\aleph_0}.</math>

odnosno ne postoji skup A takav da je 

<math> \aleph_0 \ < k(A) < \mathfrak{c} </math><ref name=Krijan>[https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/studnatj/Krijan_skupovi.pdf Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu] Ivan Krijan: ''Skupovi'', Zagreb: Sveučilište u Zagrebu,  str. 1. (pristupljeno 6. kolovoza 2019.)</ref>

Ovo je ekvivalentno sa:

:<math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>

Realni se brojevi također nazivaju ''kontinuumom'', pa otuda dolazi ime. Postoji i '''poopćena hipoteza kontinuuma''', koja glasi:

: Za sve ordinale <math>\alpha</math>, <math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}</math> 

Cantor je ovo zapisao 1878. i pojam je i dalje otvoren problem. Prvi je od 23 [[David Hilbert|Hilbertova]] problema iz 1900. godine.<ref name=Krijan/>

== Veličina skupa ==
{{glavni|Kardinalni broj}}

Da bi se hipoteza formalno izrazila, potrebna je definicija: kaže se da dva skupa ''S'' i ''T'' imaju istu ''kardinalnost'' ili ''[[kardinalni broj]]'' ako postoji [[bijekcija]] 
<math>S \leftrightarrow T</math>.
Intuitivno, ovo znači da je moguće ''sparivanje'' elemenata iz ''S'' s elementima skupa ''T'', tako da je svaki element iz ''S'' uparen s točno jednim elementom iz ''T'', i obratno. Slijedi da skup {banana, jabuka, šljiva} ima istu kardinalnost kao i skup {Ivan, Josip, Marko}. 

Kad su u pitanju beskonačni skupovi, kao što su skupovi [[cijeli broj|cijelih brojeva]] ili [[racionalan broj|racionalnih brojeva]], ovakve je stvari malo teže za pokazati. Neka se promatra primjerice skup svih racionalnih brojeva. Očigledna (i pogrješna) pretpostavka  bi mogla biti da racionalnih brojeva ima više od cijelih brojeva, te da realnih brojeva ima više nego racionalnih, što bi oborilo hipotezu kontinuuma. Međutim, pokazuje se da je kardinalnost racionalnih brojeva jednaka kardinalnosti cijelih brojeva, i da su oba [[prebrojiv skup|prebrojivi skupovi]].
[[Cantorov dijagonalni postupak]] pokazuje da cijeli brojevi i realni brojevi nemaju istu kardinalnost.

Hipoteza kontinuuma tvrdi da svaki [[podskup]] kontinuuma (skupa realnih brojeva) koji sadrži cijele brojeve ima ili istu kardinalnost kao skup cijelih brojeva ili istu kardinalnost kao skup realnih brojeva.

== Nemogućnost dokazivanja ili opovrgavanja ==

Cantor je vjerovao da je hipoteza kontinuuma točna, i godinama je pokušavao [[matematički dokaz|dokazati]], ali bez uspjeha. Ovaj je problem postao prvi na popisu važnih [[Hilbertovi problemi|otvorenih pitanja]] koje je [[David Hilbert]] predstavio na Međunarodnom matematičkom kongresu [[1900.]] u Parizu.

[[Kurt Gödel]] je 1940. pokazao da hipoteza kontinuuma ne može biti opovrgnuta standardnom [[Zermelo-Fraenkel teorija skupova|Zermelo-Fraenkel teorijom skupova]], čak i ako se usvoji [[aksiom izbora]]. [[Paul Cohen (matematičar)|Paul Cohen]] je 1963. pokazao da uz iste ove aksiome hipoteza kontinuuma ne može dokazati. Stoga, hipoteza kontinuuma je ''[[neovisnost (matematička logika)|neovisna]]'' od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora. Oba ova rezultata pretpostavljaju da sami Zermelo-Fraenkel aksiomi ne sadrže protuslovlje; ova pretpostavka je široko prihvaćena kao točna.

Hipoteza kontinuuma nije bila prvi iskaz neovisan od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora. Izravna posljedica [[Gödelova teorem nepotpunosti|Gödelovog teorema nepotpunosti]], objavljenog 1931., jest da postoji formalni iskaz koji izražava konzistentnost Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora, koji je neovisan od nje. Ovaj iskaz o konzistentnosti je metamatematičke prirode, više nego čisto matematičke. Hipoteza kontinuuma i [[aksiom izbora]] su bili među prvim matematičkim iskazima za koje je pokazano da su neovisni od ZF teorije skupova.

Hipoteza kontinuuma je u bliskoj vezi s mnogim iskazima iz raznih matematičkih oblasti. Kao rezultat njene neovisnosti, za mnoge značajne [[konjektura|konjekture]] iz ovih disciplina je kasnije pokazano da su također neovisne.

== Argumenti za i protiv ==

Gödel je čvrsto vjerovao da je hipoteza kontinuuma pogrješna. Po njemu, dokaz konzistentnosti je samo pokazao da je ZF skup aksioma manjkav. Gödel je bio [[platonizam|platonist]], i stoga nije imao problema s tvrdnjama o točnosti ili pogrješnosti iskaza u ovisnosti od njihove dokažljivosti. Cohen, iako [[formalizam|formalist]], je također naginjao ka odbacivanju hipoteze kontinuuma.

Povijesno, matematičari koji su bili pristalice ''bogatog'' i ''velikog'' univerzuma skupova su bili protiv hipoteze kontinuuma, dok su oni koji su se zalagali za ''uredan'' i ''kontroliran'' univerzum zalagali za nju.

Chris Freiling je 1986. predstavio argument protiv hipoteze kontinuuma, nazvan [[Freilingov aksiom simetrije]]: pokazao je da je negacija hipoteze kontinuuma ekvivalentna iskazu o [[vjerojatnost|vjerojatnosti]] koju je okarakterizirao kao ''intuitivno točnu'', ali drugi se nisu složili.

== Poopćena hipoteza kontinuuma ==

''Poopćena hipoteza kontinuuma'' tvrdi da ako kardinalnost beskonačnog skupa leži između kardinalnosti beskonačnog skupa ''S'' i kardinalnosti partitivnog skupa od ''S'', tada taj skup ima ili kardinalnost skupa ''S'' ili partitivnog skupa od ''S''. To jest, za svaki beskonačan kardinal <math>\lambda</math> ne postoji kardinal <math>\kappa</math>, takav da <math>\lambda <\kappa <2^{\lambda}.</math> Ekvivalentan uvjet jest da <math>\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}</math> za svaki ordinal <math>\alpha.</math> [[Bet broj]] pruža alternativnu notaciju za ovaj uvjet: <math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math> za svaki ordinal <math>\alpha.</math> 

Ovo je poopćenje hipoteze kontinuuma, jer kontinuum ima istu kardinalnost kao [[partitivni skup]] [[cijeli broj|cijelih brojeva]]. Kao i hipoteza kontinuuma, i poopćena hipoteza kontinuuma je neovisna od ZF teorije skupova s aksiomom izbora, ali [[Wacław Sierpiński]] je dokazao da ZF teorija skupova i poopćena hipoteza kontinuuma impliciraju [[aksiom izbora|aksiom izbora]], tako da izbor i poopćena hipoteza kontinuuma nisu neovisne u ZF; ne postoje modeli u ZF u kojima poopćena hipoteza kontinuuma vrijedi, a aksiom izbora ne vrijedi.

[[Kurt Gödel]] je pokazao da je poopćena hipoteza kontinuuma posljedica ZF + V=L (aksioma da je svaki skup konstruktibilan u odnosu na ordinale).

=== Implikacije poopćene hipoteze kontinuuma za kardinalnu eksponencijaciju ===

Poopćena hipoteza kontinuuma općenito fiksira vrijednosti kardinalne eksponencijacije. Vrijednost <math>\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}</math> je:
:<math>\aleph_{\beta+1}</math> kada ''α ≤ β+1'';
:<math>\aleph_{\alpha}</math> kada ''β+1 < α'' i eksponent je manji od konfinalnosti baze; i 
:<math>\aleph_{\alpha+1}</math> kada ''β+1 < α'' i eksponent je veći ili jednak konfinalnosti baze.

== Vidjeti također ==
*[[Alef broj]]
*[[Bet broj]]
*[[Kardinalnost]]

== Izvori ==
*{{Citiranje knjige
 | first = P. J. | last = Cohen
 | title = Set Theory and the Continuum Hypothesis
 | publisher = W. A. Benjamin
 | year = 1966
 }}
*{{cite journal
 | first = Paul J. | last = Cohen
 | title = The Independence of the Continuum Hypothesis
 | journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
 | volume = 50 | issue = 6 | year = Dec. 15, 1963 | pages = 1143–1148
 | url = http://links.jstor.org/sici?sici=0027-8424%2819631215%2950%3A6%3C1143%3ATIOTCH%3E2.0.CO%3B2-5
 }}
*{{cite journal
 | first = Paul J. | last = Cohen
 | title = The Independence of the Continuum Hypothesis, II
 | journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
 | volume = 51 | issue = 1 | year = Jan. 15, 1964 | pages = 105–110
 | url = http://links.jstor.org/sici?sici=0027-8424%2819640115%2951%3A1%3C105%3ATIOTCH%3E2.0.CO%3B2-U
 }}
*{{Citiranje knjige
 | first = H. G. | last = Dales
 | coauthors = W. H. Woodin
 | title = An Introduction to Independence for Analysts
 | publisher = Cambridge
 | year = 1987
 }}
*{{Citiranje weba
 | author = Foreman, Matt
 | year = 2003
 | url = http://www.math.helsinki.fi/logic/LC2003/presentations/foreman.pdf
 | title = Has the Continuum Hypothesis been Settled?
 | format = PDF
 | accessdate = February 25
 | accessyear = 2006
 }}
*{{cite journal
 | first = Chris | last = Freiling
 | title = Axioms of Symmetry: Throwing Darts at the Real Number Line
 | journal = Journal of Symbolic Logic
 | volume = 51 | issue = 1 | year = 1986 | pages = 190–200
 }}
*{{Citiranje knjige
 | first = K. | last = Gödel
 | title = The Consistency of the Continuum-Hypothesis
 | publisher = Princeton University Press
 | year = 1940
 }}
*Gödel, K.: ''What is Cantor's Continuum Problem?'', reprinted in Benacerraf and Putnam's collection ''Philosophy of Mathematics'', 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
*{{cite journal
 | first = Penelope | last = Maddy
 | journal = Journal of Symbolic Logic
 | title = Believing the Axioms, I
 | volume = 53 | issue = 2 | year = June 1988 | pages = 481–511
 }}
*{{Citiranje weba
 | author = McGough, Nancy
 | url = http://www.ii.com/math/ch/
 | title = The Continuum Hypothesis
 }}
*{{cite journal
 | first = W. Hugh | last = Woodin
 | title = The Continuum Hypothesis, Part I
 | journal = Notices of the AMS
 | volume = 48 | issue = 6 | year = 2001 | pages = 567–576
 | url = http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf
 }}
*{{cite journal
 | first = W. Hugh | last = Woodin
 | title = The Continuum Hypothesis, Part II
 | journal = Notices of the AMS
 | volume = 48 | issue = 7 | year = 2001 | pages = 681–690
 | url = http://www.ams.org/notices/200107/fea-woodin.pdf
 }}

[[Kategorija:Teorija skupova]]