Vidi kôd stranice Lorenzov atraktor

<!--'''Lorenzov atraktor'''-->[[Datoteka:Lorenz attractor yb.svg|mini|200px|desno|Prikaz trajektorije Lorenzovog sustava za vrijednosti ρ=28, σ = 10, β = 8/3]]

[[Datoteka:LorenzAttractor.png|200px|right]]

[[Datoteka:Lorenzstill-rubel.png|mini|200px|desno|Trajektorija Lorenzovih jednadžbi, renderirana kao metalna žica kako bi se naznačio smjer i trodimenzionalna struktura]]

'''Lorenzov atraktor''' je [[teorija kaosa|kaotično preslikavanje]], istaknuto po svom [[leptir]]olikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje [[dinamički sustav|dinamičkog sustava]] (tri varijable trodimenzionalnog sustava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku, često opisanom kao [[matematička ljepota|lijepim]]{{Nedostaje izvor}}. 

Sam atraktor, kao i jednadžbe iz kojih je izveden, je izmislio [[Edward Norton Lorenz|Edward Lorenz]] [[1963.]], koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednadžbi [[konvekcija|konvekcijskih]] uvrtanja koji izniču iz jednadžbi [[Zemljina atmosfera|Zemljine atmosfere]].

Sa tehničkog gledišta, sustav je [[nelinearnost|nelinearan]], trodimenzionalan i [[deterministički sustav (matematika)|deterministički]]. 2001. je Warwick Tucker dokazao da za određene parametre sustav ispoljava kaotično ponašanje i pokazuje ono što je danas nazvano [[atraktor:kaotični atraktor|čudnim atraktorom]]. Čudni atraktor je u ovom slučaju [[fraktal]] [[Hausdorffova dimenzija|Hausdorffove dimenzije]] između 2 i 3. Grassberger (1983.) je procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i [[korelacijska dimenzija|korelacijsku dimenziju]] na 2.05 ± 0.01.

Sistem izniče u [[laser]]ima, [[električni generator|dinamima]] i specifičnim vodenicama [http://www.zeuscat.com/andrew/chaos/lorenz.html].

Jednadžbe koje upravljaju Lorenzovim atraktorom su:
:<math>\frac{dx}{dt}  = \sigma (y - x)</math>

:<math>\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y</math>

:<math>\frac{dz}{dt}  = xy - \beta z</math>

gdje se <math>\sigma</math> zove '''[[Prandtlov broj|Prandtlovim brojem]]''' i <math>\rho</math> '''[[Rayleighjev broj|Rayleighjevim brojem]]'''. Svi su <math>\sigma</math>, <math>\rho</math>, <math>\beta</math> > 0, ali je obično <math>\sigma</math> = 10, <math>\beta</math> = 8/3 i <math>\rho</math> varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za <math>\rho</math> = 28 i prikazuje čvoraste periodičke orbite za druge vrijednosti od <math>\rho</math>. Primjerice, uz <math>\rho = 99.96</math> postaje ''T''(3,2) [[torusni čvor]].

== Učinak leptira u Lorenzovom atraktoru ==

<blockquote>
{|class="wikitable" width=535px
|-
! colspan=3|[[Učinak leptira]]
|-
|align="center"|'''Vrijeme t=1''' [[:Datoteka:Lorenz caos1.png|(povećano)]]
|align="center"|'''Vrijeme t=2''' [[:Datoteka:Lorenz caos2.png|(povećano)]]
|align="center"|'''Vrijeme t=3''' [[:Datoteka:Lorenz caos3.png|(povećano)]]
|-
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_caos1-175.png]]
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_caos2-175.png]]
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_caos3-175.png]]
|-
|align="center" colspan=3| Ovi oblici - načinjeni uz ρ=28, σ = 10 i β = 8/3 - pokazuju tri vremenska segmenta 3-D evolucije dvaju trajektorija (jedne plavo, druge žuto obojeane) u Lorenzovom atraktoru počinjući od inicijalnih točaka koje se razlikuju svega za  10<sup>-5</sup> u x koordinati. U početku se dvije trajektorije podudaraju (vidi se samo žuta, jer je iscrtana preko plave) ali, nakon nekog vremena, očito divergiraju.
|-
|align="center" colspan=3| [http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/lorenz_eng.html Java animacija Lorenzovog atraktora] pokazuje kontinuiranu evoluciju.
|}
</blockquote>

== Rabeći različite vrijednosti za Rayleighjev broj ==
<blockquote><blockquote>
{|class="wikitable" width=425px
|-
! colspan=2|Lorenzov atraktor za različite vrijednosti ρ
|-
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_Ro14_20_41_20-200px.png]]
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_Ro13-200px.png]]
|-
|align="center"|'''ρ=14, σ=10, β=8/3''' [[:Datoteka:Lorenz Ro14 20 41 20.png|(povećano)]]
|align="center"|'''ρ=13, σ=10, β=8/3''' [[:Datoteka:Lorenz Ro13.png|(povećano)]]
|-
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_Ro15-200px.png]]
|align="center"|[[Datoteka:Lorenz_Ro28-200px.png]]
|-
|align="center"|'''ρ=15, σ=10, β=8/3''' [[:Datoteka:Lorenz Ro15.png|(povećano)]]
|align="center"|'''ρ=28, σ=10, β=8/3''' [[:Datoteka:Lorenz Ro28.png|(povećano)]]
|-
|align="center" colspan=2| Za male vrijednosti ρ, sustav je stabilan i evolvira u jednu od dvije fiksne točke atraktora. Kada je ρ veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe.
|-
|align="center" colspan=2|[http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/lorenz_eng.html Java animacija koja prikazuje evoluciju za različite vrijednosti ρ]
|}
</blockquote></blockquote>

== Vidi još == 

* [[Popis kaotičnih preslikavanja]]
* [[Takensov theorem]]
* [[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]]

== Izvori ==

* {{cite journal | author=Lorenz, E. N. | title=Deterministic nonperiodic flow | journal=J. Atmos. Sci. | year=1963 | volume=20| pages=130-141 | url=http://dx.doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2 | id={{doi|10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2}} }}
* {{cite journal | author=Frøyland, J., Alfsen, K. H. | title=Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model | journal=Phys. Rev. A | year=1984 | volume=29| pages=2928–2931}}
* {{cite journal | author=Tucker, W. | title=A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem | journal=Found. Comp. Math. | year=2002 | volume=2 | pages=53-117}}
* {{cite book | author=Strogatz, Steven H. | title=Nonlinear Systems and Chaos | publisher=Perseus publishing | year=1994 |id= }}
* Jonas Bergman, ''Knots in the Lorentz system'', Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.
* {{cite journal
 | author=P. Grassberger and I. Procaccia
 | title=Measuring the strangeness of strange attractors
 | journal=Physica D
 | year = 1983 | volume = 9 | pages=189-208
 | url = http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-bib_query?bibcode=1983PhyD....9..189G&amp;db_key=PHY
 | id = {{doi|10.1016/0167-2789(83)90298-1}}
 }}

== Vanjske poveznice ==
* [http://mathworld.wolfram.com/LorenzAttractor.html Lorenzov atraktor] (MathWorld članak)
* [http://planetmath.org/encyclopedia/LorenzEquation.html Lorenzova jednadžba] na planetmath.org
* [http://toxi.co.uk/lorenz/ Interaktivna animacija Lorenzovog atraktora] (zahtijeva Adobe Shockwave dodatak)
* [http://www.levitated.net/daily/levLorenzAttractor.html Levitated.net: računska umjetnost i dizajn]
* [http://ibiblio.org/e-notes/VRML/Lorenz/Lorenz.htm 3D VRML Lorenzov atraktor] (zahtijeva dodatak VRML preglednika)
* [http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/lorenz_eng.html JAVA applet] - leptirov učinak, Lorenzov i Rosslerov atraktor
* [http://www.jsoftware.com/jwiki/Essays/Lorenz_Attractor Eseji o Lorenzovim atraktorima u J-u] - vidi [[J (programski jezik)|programski jezik J]]

[[Kategorija:Teorija kaosa]]